Semjonov Vlad, Ivasiro Aleksander, učenca 9. razreda

Delo in predstavitev za reševanje grafičnih problemov. Izdelana je bila elektronska igrica in brošura z grafičnimi nalogami

Prenesi:

Predogled:

Če želite uporabljati predogled predstavitev, ustvarite Google račun in se prijavite vanj: https://accounts.google.com

Podnapisi diapozitivov:

diplomsko delo Reševanje problemov je ena od metod razumevanja medsebojne povezanosti naravnih zakonov. Reševanje nalog je eden od pomembnih načinov ponavljanja, utrjevanja in samopreverjanja znanja. Večino fizikalnih problemov rešujemo analitično, v fiziki pa obstajajo problemi, ki zahtevajo grafično rešitev ali pa so v grafu predstavljeni. Te naloge zahtevajo uporabo sposobnosti branja in analize grafa.

Relevantnost teme. 1) Reševanje in analiziranje grafičnih problemov vam omogoča razumevanje in zapomnitev osnovnih zakonov in formul fizike. 2) V KIM za enotni državni izpit iz fizike in matematike so vključene naloge z grafično vsebino

Cilj projekta: 1. Izdati priročnik za samostojno učenje reševanja grafičnih problemov. 2. Ustvarite elektronsko igro. Naloge: 1. Izberite grafične naloge na različne teme. 2. Ugotovite splošni vzorec pri reševanju grafičnih problemov.

Branje grafa Določanje toplotnih procesov Določanje periode, amplitude, ... Določanje Ek, Er

V tečaju fizike 7-9 je mogoče izpostaviti zakone, ki so izraženi z neposredno odvisnostjo: X(t), m (ρ), I (q), F nadzor(Δ x), F tr(N), F ( m), P ( v) , p (F) p (h) , F а(V t) …, kvadratna odvisnost: E к =mv 2 /2 E р =CU 2 /2 E р =kx 2 /2

1. Primerjajte kapacitivnost kondenzatorjev 2.Katera od spodaj navedenih točk na diagramu odvisnosti gibalne količine telesa od njegove mase ustreza najmanjši hitrosti? Razmislimo o težavah 3 1 2

1. Kakšno je razmerje med koeficienti togosti? 2. Telo, ki v začetnem trenutku miruje, se giblje pod vplivom stalne sile, kot je prikazano na sliki. Določi velikost projekcije te sile, če je masa telesa 3 kg.

Upoštevajte, da je P(V) podan, vprašanje pa je o Ek 1. V katerem od naslednjih razmerij so kinetične energije treh teles različnih mas v času, ko so njihove hitrosti enake? 2. Na podlagi projekcije odmika v odvisnosti od časa za telo, ki tehta 2 kg, določi gibalno količino telesa v času 2 s. (Začetna hitrost je nič.)

1. Kateri od naslednjih grafov najbolj natančno predstavlja razmerje med predvideno hitrostjo in časom? (Začetna hitrost je nič.) E Od ene odvisnosti do druge Od grafa do grafa

2. Telo z maso 1 kg spremeni svojo projekcijo hitrosti, kot je prikazano na sliki. Kateri od naslednjih grafov projekcije sile v odvisnosti od časa ustreza temu gibanju?

Pri predmetu fizike so problemi z več načini reševanja: 1. Izračunajte povprečno hitrost 2. Ugotovite razmerje med projekcijami gibanja teles v trenutku, ko sta hitrosti teles enaki. 10 5 0 V,x ; m/s t,s I II III

metoda št. 1 10 5 0 V,x; m/s t,c I II III a x= V 2x – V 1x t 2 – t 1 2 S=v 0 t+at 2 /2

metoda št. 2 10 5 0 Vx; m/s t,s I II III Sx= (V 0 x + Vx) t/ 2

Metoda št. 3 10 5 0 V,x ; m/s t,s I II III S 3 x= 1 *S S 2 x= 2 *S S 1 x: S 2 x: S 3 x= 3: 2: 1 S 1 x= 3 *S

Dodatni diapozitiv Tretja metoda rešitve očitno ne zahteva vmesnih izračunov, zato je hitrejša in zato bolj priročna. Ugotovimo, pri katerih nalogah je takšna uporaba prostora mogoča.

Analiza rešenih problemov kaže, da če je produkt X in Y fizična količina, potem je enaka površini figure, omejene z grafom. P=IU, A=Fs S=vt, V=at, v 0 =0 Δp/t=F, q=It Fa=V ρ g,…. X Y

1. Slika prikazuje graf projekcije hitrosti določenega telesa v odvisnosti od časa. Določite projekcijo premika in pot tega telesa 5 s po začetku gibanja. Vx ; m/s 3 0 -2 3 t ; s 5 A) 5 m, 13 m B) 13 m, 5 m C) -1 m, 0 m D) 9 m, -4 m E) 15 m, 5 m

0 4 6 8 1 2 3 4 5 6 t, s V, m/s 2. Določite povprečno hitrost kolesarja v času t=6s. Ves čas za ves čas S x = S trapez 4,7 m/s

Spremembo gibalne količine telesa določa površina figure - pravokotnik, če je sila konstantna, in pravokotni trikotnik, če je sila linearno odvisna od časa. F t F t t F

3. Največja sprememba gibalne količine telesa v 2s F t 1 .A 2 .B 3 .C 1 C B A Namig: Ft=S f =  p

4. Z uporabo odvisnosti gibalne količine telesa od časa določite rezultanto sile, ki deluje na to telo. A) 3H B) 8H C) 12H D) 2H E) 16 pasti P; kg* m/s 6 2 0 2 t ; c F= Δ p/t=(6-2)/2=2

Mehansko delo Mehansko delo, konstantno po velikosti in smeri sile, je številčno enako površini pravokotnika. Mehansko delo sile, katere velikost je odvisna od modula premika po linearnem zakonu, je številčno enako površini pravokotnega trikotnika. S 0 F F * s = A = S pravokoten S 0 F A = S pravokoten

5. Slika prikazuje odvisnost sile, ki deluje na telo, od odmika. Določi delo te sile, ko se telo premakne za 20 cm. A) 20J. B) 8J. C) 0,8 J. D) 40J. E) 0,4 J. past cm v metre

Izračunaj naboj 4 I,A 6 2 U,B 4 8 12 16 20 24 Izračunaj upor Izračunaj A, Δ Ek za 4 s Izračunaj Er vzmeti

6. Telo z maso 1 kg pod vplivom spremenljive sile skozi čas spreminja projekcijo hitrosti, kot je prikazano na sliki. Težko je določiti delo rezultante te sile v 8 sekundah po začetku gibanja A) 512J B) 128J C) 112J D) 64J E) 132J A=FS , S= S (t=4c) =32m , F =ma, a =(v -v0)t=2 m/s 2

zaključek Kot rezultat našega dela smo izdali brošuro z grafičnimi nalogami za samostojno reševanje in izdelali elektronsko igrico. Delo se je izkazalo za koristno za pripravo na enotni državni izpit, pa tudi za študente, ki jih zanima fizika. V prihodnje obravnavo drugih vrst problemov in njihovo reševanje.

Funkcionalne odvisnosti fizikalnih veličin. Splošne metode, tehnike in pravila pristopa k reševanju grafičnih problemov projekt "TALKING LINE" MBOU Srednja šola št. 8 Južno-Sahalinsk Izpolnila: Semyonov Vladislav, Ivasiro Alexander, učenci 9. razreda "A"

Viri informacij. 1. Lukashik V.I., Ivanova E.V. Zbirka problemov iz fizike. Moskva “Razsvetljenje” 2000 2. Stepanova G.I. Zbirka problemov iz fizike M. Razsvetljenje 1995 3. Rymkevich A.P. Zbirka problemov iz fizike Moskva. Izobraževanje 1988. 4. www.afportal.ru 5. A.V. Peryshkin, E. M. Gutnik Učbenik fizike za 7., 8., 9. razred. 6. Materiali GIA 7. S.E. Kamenetsky, V. P. Orekhov Metode reševanja problemov fizike v srednji šoli. M: Izobraževanje, 1987. 8. V.A. Balazs Problemi v fiziki in metode za njihovo reševanje. Moskovsko "razsvetljenje" 1983

Strokovnjaki dokazujejo prednost tehničnega izobraževanja pred humanističnimi vedami, dokazujejo, da Rusija nujno potrebuje visokokvalificirane inženirje in tehnične strokovnjake, in ta trend se bo nadaljeval ne le v letu 2014, ampak tudi v prihodnjih letih. Po mnenju strokovnjakov za izbor osebja, če država v prihodnjih letih pričakuje gospodarsko rast (in za to obstajajo predpogoji), potem je zelo verjetno, da ruska izobraževalna baza ne bo kos številnim sektorjem (visoka tehnologija, industrija) . "Trenutno je na trgu dela akutno pomanjkanje strokovnjakov na področju inženiringa in tehničnih posebnosti, na področju IT: programerji, razvijalci programske opreme. Inženirji skoraj vseh specializacij ostajajo v povpraševanju. Hkrati trg je prenasičen s pravniki, ekonomisti, novinarji, psihologi,« - pravi generalna direktorica agencije za zaposlovanje edinstvenih strokovnjakov Ekaterina Krupina. Analitiki, ki dolgoročno napovedujejo do leta 2020, so prepričani, da bo povpraševanje po tehničnih posebnostih vsako leto hitro naraščalo. Relevantnost problema. Zato je kakovostna priprava na enotni državni izpit iz fizike pomembna. Obvladovanje metod za reševanje fizičnih problemov je ključnega pomena. Različne fizične naloge so grafične. 1) Reševanje in analiziranje grafičnih problemov vam omogoča razumevanje in zapomnitev osnovnih zakonov in formul fizike. 2) V KIM za enotni državni izpit iz fizike so vključene naloge z grafično vsebino.

Prenesite delo s predstavitvijo.

CILJ PROJEKTNEGA DELA:

Preučevanje vrst grafičnih problemov, sort, lastnosti in metod reševanja .

CILJI DELA:

1. Preučevanje literature o grafičnih nalogah; 2. Študij gradiva enotnega državnega izpita (razširjenost in stopnja zahtevnosti grafičnih nalog); 3. Študij splošnih in specifičnih grafičnih problemov iz različnih vej fizike, stopnje zahtevnosti. 4. Študij metod reševanja; 5. Izvedba sociološke ankete med dijaki in učitelji.

Fizikalni problem

V metodološki in izobraževalni literaturi so učne fizične naloge razumljene kot ustrezno izbrane vaje, katerih glavni namen je preučevanje fizikalnih pojavov, oblikovanje pojmov, razvijanje telesnega mišljenja učencev in jim privzgojiti sposobnost uporabe svojega znanja v praksi.

Učenje študentov reševanja fizikalnih problemov je eden najtežjih pedagoških problemov. Mislim, da je ta problem zelo pomemben. Moj projekt želi rešiti dva problema:

1. Pomoč pri učenju šolarjev pri reševanju grafičnih problemov;

2. V tovrstno delo vključite študente.

Reševanje in analiza problema vam omogoča razumevanje in zapomnitev osnovnih zakonov in formul fizike, ustvarjanje predstave o njihovih značilnostih in mejah uporabe. Problemi razvijajo veščine uporabe splošnih zakonov materialnega sveta za reševanje specifičnih vprašanj praktičnega in izobraževalnega pomena. Sposobnost reševanja problemov je najboljše merilo za ocenjevanje globine študija programskega gradiva in njegove asimilacije.

V študijah za ugotavljanje stopnje, do katere učenci obvladajo posamezne operacije, vključene v zmožnost reševanja problemov, je bilo ugotovljeno, da 30–50 % učencev v različnih razredih navaja, da jim manjkajo te spretnosti.

Nezmožnost reševanja problemov je eden glavnih razlogov za slabšo uspešnost pri študiju fizike. Študije so pokazale, da je nezmožnost samostojnega reševanja problemov glavni razlog za neredno opravljanje domačih nalog. Le majhen del učencev obvlada zmožnost reševanja problemov, kar je po njihovem mnenju eden najpomembnejših pogojev za izboljšanje kakovosti znanja fizike.

To stanje učne prakse je mogoče razložiti s pomanjkanjem jasnih zahtev za oblikovanje te veščine, pomanjkanjem notranje motivacije in kognitivnega interesa med učenci.

Reševanje problemov v procesu poučevanja fizike ima večplastne funkcije:

Obvladovanje teoretičnega znanja.
Obvladovanje pojmov o fizikalnih pojavih in količinah.
Duševni razvoj, ustvarjalno mišljenje in posebne sposobnosti učencev.
Učence seznanja z dosežki znanosti in tehnike.
Razvija delavnost, vztrajnost, voljo, značaj in odločnost.
Je sredstvo za spremljanje znanja, spretnosti in zmožnosti učencev.

Grafična naloga.

Grafične naloge so tiste naloge, pri reševanju katerih se uporabljajo grafi, diagrami, tabele, risbe in diagrami.

Na primer:

1. Zgradite graf poti enakomernega gibanja, če je v = 2 m/s, oziroma enakomerno pospešenega gibanja, če je v 0 = 5 m/s in a = 3 m/s 2 .

2. Za katere pojave je značilen vsak del grafa...

3. Katero telo se giblje hitreje

4. Na katerem področju se je telo gibalo hitreje?

5. Iz grafa hitrosti določi prevoženo pot.

6. V katerem delu gibanja je telo mirovalo. Hitrost se je povečevala in zmanjševala.

Reševanje grafičnih problemov pomaga razumeti funkcionalno razmerje med fizikalnimi količinami, razvijati spretnosti pri delu z grafi in razvijati sposobnost dela z lestvicami.

Glede na vlogo grafov pri reševanju problemov jih lahko razdelimo na dve vrsti: - problemi, katerih odgovor na vprašanje je mogoče najti kot rezultat konstruiranja grafa; - naloge, pri katerih lahko odgovor najdemo z analizo grafa.

Grafične naloge lahko kombiniramo z eksperimentalnimi.

Na primer:

S čašo, napolnjeno z vodo, določi težo lesenega bloka...

Priprava na reševanje grafičnih nalog.

Za reševanje grafičnih problemov mora študent poznati različne vrste funkcijskih odvisnosti, kar pomeni presečišče grafov z osmi in grafov med seboj. Razumeti morate, kako se odvisnosti razlikujejo, na primer x = x 0 + vt in x = v 0 t + pri 2 /2 ali x = x m sinω 0 t in x = - x m sinω 0 t; x =x m sin(ω 0 t+ α) in x =x m cos (ω 0 t+ α) itd.

Pripravljalni načrt mora vsebovati naslednje razdelke:

· a) Ponovite grafe funkcij (linearne, kvadratne, potenčne) · b) Ugotovite, kakšno vlogo igrajo grafi v fiziki, katere informacije nosijo. · c) Sistematizirajte fizikalne naloge glede na pomen grafov v njih. · d) Preučiti metode in tehnike za analizo fizikalnih grafov · e) Razviti algoritem za reševanje grafičnih problemov v različnih vejah fizike · f) Ugotoviti splošne vzorce pri reševanju grafičnih problemov. Za obvladovanje metod reševanja problemov je potrebno rešiti veliko število različnih vrst problemov, pri čemer upoštevamo načelo - "Od preprostega do zapletenega." Začenši s preprostimi, obvladajte metode reševanja, primerjajte, posplošujte različne probleme tako na podlagi grafov kot na tabelah, diagramih, diagramih. Bodite pozorni na označevanje količin vzdolž koordinatnih osi (enote fizikalnih količin, prisotnost submultiple ali večkratnih predpon), lestvico, vrsto funkcionalne odvisnosti (linearna, kvadratna, logaritemska, trigonometrična itd.), naklonski koti grafov, presečišča grafov s koordinatnimi osemi ali grafov med seboj. Posebej skrbno je treba pristopiti k težavam z inherentnimi »napakami«, pa tudi k težavam s fotografijami lestvic merilnih instrumentov. V tem primeru je treba pravilno določiti vrednost delitve merilnih instrumentov in natančno odčitati vrednosti izmerjenih veličin. Pri problemih geometrijske optike je še posebej pomembno skrbno in natančno konstruirati žarke ter določiti njihova presečišča z osemi in med seboj.

Kako rešiti težave z grafiko

Obvladovanje splošnega algoritma za reševanje fizikalnih problemov

1. Izvedba analize stanja problema z identifikacijo sistemskih nalog, pojavov in procesov, opisanih v problemu, z določitvijo pogojev za njihov nastanek.

2. Kodiranje pogojev problema in postopka reševanja na različnih ravneh:

a) kratko navedbo težavnih pogojev;

b) izdelava risb in električnih shem;

c) izdelava risb, grafov, vektorskih diagramov;

d) pisanje enačbe (sistema enačb) ali konstruiranje logičnega sklepa

3. Identifikacija ustrezne metode in metod za reševanje določenega problema

4. Uporaba splošnega algoritma za reševanje problemov različnih vrst

Reševanje problema se začne z branjem pogojev. Zagotoviti morate, da so študentom jasni vsi izrazi in pojmi v pogoju. Nejasni izrazi so pojasnjeni po prvem branju. Ob tem je treba izpostaviti, kateri pojav, proces ali lastnost teles je v nalogi opisan. Nato se problem ponovno prebere, vendar s poudarjenimi podatki in zahtevanimi količinami. In šele po tem se izvede kratek zapis pogojev problema.

Načrtovanje

Akcija orientacije omogoča sekundarno analizo zaznanih pogojev naloge, zaradi česar se identificirajo fizikalne teorije, zakoni, enačbe, ki pojasnjujejo določeno nalogo. Nato se identificirajo metode za reševanje problemov enega razreda in najde optimalna metoda za rešitev tega problema. Rezultat študentove dejavnosti je načrt rešitve, ki vključuje verigo logičnih dejanj. Spremlja se pravilnost ukrepov za pripravo načrta za rešitev problema.

Postopek rešitve

Najprej je treba razjasniti vsebino že znanih dejanj. Akcija orientacije na tej stopnji vključuje ponovno osvetlitev metode reševanja problema in razjasnitev vrste problema, ki ga je treba rešiti z metodo postavljanja pogojev. Naslednji korak je načrtovanje. Predvidena je metoda za rešitev problema, aparat (logični, matematični, eksperimentalni), s pomočjo katerega je mogoče izvesti njegovo nadaljnjo rešitev.

Analiza rešitve

Zadnja stopnja postopka reševanja problema je preverjanje dobljenega rezultata. Ponovno se izvaja z istimi dejanji, vendar se vsebina dejanj spremeni. Akcija orientacije je ugotavljanje bistva tistega, kar je treba preveriti. Na primer, rezultati rešitve so lahko vrednosti koeficientov, fizikalne konstante značilnosti mehanizmov in strojev, pojavi in procesi.

Rezultat, dobljen pri reševanju problema, mora biti verjeten in v skladu z zdravo pametjo.

Razširjenost grafičnih nalog v strojih za računalniško simulacijo v nalogah enotnega državnega izpita

Večletna študija gradiva za enotni državni izpit (2004 - 2013) je pokazala, da so grafične težave v različnih oddelkih fizike pogoste pri nalogah enotnega državnega izpita v različnih oddelkih fizike. Pri nalogah A: pri mehaniki - 2-3 pri molekularni fiziki - 1 pri termodinamiki - 3 pri elektrodinamiki - 3-4 pri optiki - 1-2 pri kvantni fiziki - 1 pri atomski in jedrski fiziki - 1 Pri nalogah B: pri mehaniki - 1 iz molekularne fizike - 1 iz termodinamike - 1 iz elektrodinamike - 1 iz optike - 1 iz kvantne fizike - 1 iz atomske in jedrske fizike - 1 iz nalog C: iz mehanike - iz molekulske fizike - iz termodinamike - 1 iz elektrodinamike - 1 iz optika - 1 v kvantni fiziki - v atomski in jedrski fiziki - 1

Naše raziskave

A. Analiza napak pri reševanju grafičnih nalog

Analiza reševanja grafičnih problemov je pokazala, da se pojavljajo naslednje pogoste napake:

Napake pri branju kart;

Napake pri operacijah z vektorskimi količinami;

Napake pri analizi izoprocesnih grafov;

Napake v grafični odvisnosti električnih veličin;

Napake pri konstruiranju z uporabo zakonov geometrijske optike;

Napake pri grafičnih nalogah o kvantnih zakonitostih in fotoelektričnem učinku;

Napake pri uporabi zakonov atomske fizike.

B. Sociološka raziskava

Da bi ugotovili, kako so dijaki ozaveščeni o grafičnih nalogah, smo izvedli sociološko raziskavo.

Dijakom in učiteljem naše šole smo zastavili naslednja vprašanja: profili:

1. Kaj je grafična naloga?

a) težave s slikami;

b) naloge, ki vsebujejo diagrame, diagrame;

c) Ne vem.

2. Čemu so namenjene grafične naloge?

b) razviti sposobnost gradnje grafov;

c) Ne vem.

3. Znate rešiti grafične probleme?

a) da; b) ne; c) nisem prepričan ;

4. Se želite naučiti reševati grafične probleme?

A) da ; b) ne; c) Težko odgovorim.

Anketiranih je bilo 50 oseb. Kot rezultat ankete so bili pridobljeni naslednji podatki:

SKLEPI:

Kot rezultat dela na projektu "Grafične naloge" smo preučevali značilnosti grafičnih nalog.
Preučevali smo značilnosti metodologije reševanja grafičnih problemov.
Analizirali smo tipične napake.
Izvedena sociološka raziskava.

Refleksija dejavnosti:

Zanimivo nam je bilo delati problem grafičnih nalog.
Naučili smo se izvajati raziskave, primerjati in primerjati rezultate raziskav.
Ugotovili smo, da je obvladovanje metod reševanja grafičnih problemov nujno za razumevanje fizikalnih pojavov.
Ugotovili smo, da je za uspešno opravljanje enotnega državnega izpita potrebno obvladovanje metod reševanja grafičnih problemov.

Če ima problem linearnega programiranja samo dve spremenljivki, ga je mogoče rešiti grafično.

Razmislite o problemu linearnega programiranja z dvema spremenljivkama in:
(1.1) ;
(1.2)
Tukaj so poljubne številke. Naloga je lahko najti maksimum (max) ali najti minimum (min). Sistem omejitev lahko vsebuje znake in znake.

Konstrukcija domene izvedljivih rešitev

Grafična metoda za rešitev problema (1) je naslednja.
Najprej narišemo koordinatne osi in izberemo merilo. Vsaka od neenačb sistema omejitev (1.2) določa polravnino, ki jo omejuje pripadajoča premica.

Torej, prva neenakost
(1.2.1)
določa polravnino, ki jo omejuje premica. Na eni strani te ravne črte in na drugi strani. Na zelo ravni črti. Da ugotovimo, na kateri strani velja neenakost (1.2.1), izberemo poljubno točko, ki ne leži na premici. Nato nadomestimo koordinate te točke v (1.2.1). Če neenakost velja, potem polravnina vsebuje izbrano točko. Če neenakost ne drži, se polravnina nahaja na drugi strani (ne vsebuje izbrane točke). Osenči polravnino, za katero velja neenakost (1.2.1).

Enako storimo za preostale neenakosti sistema (1.2). Tako dobimo zasenčene polravnine. Točke območja možnih rešitev zadoščajo vsem neenačbam (1.2). Zato je grafično območje izvedljivih rešitev (ADA) presečišče vseh zgrajenih polravnin. Senčenje ODR. Je konveksen mnogokotnik, katerega ploskve pripadajo zgrajenim ravnim črtam. ODF je lahko tudi neomejena konveksna figura, segment, žarek ali ravna črta.

Lahko se zgodi tudi, da polravnine nimajo skupnih točk. Potem je domena izvedljivih rešitev prazna množica. Ta problem nima rešitve.

Metodo je mogoče poenostaviti. Ni vam treba osenčiti vsake polravnine, ampak najprej zgradite vse ravne črte
(2)
Nato izberite poljubno točko, ki ne pripada nobeni od teh premic. Nadomestite koordinate te točke v sistem neenačb (1.2). Če so vse neenakosti izpolnjene, je območje možnih rešitev omejeno s konstruiranimi premicami in vključuje izbrano točko. Območje izvedljivih rešitev zasenčimo ob mejah premic tako, da vključuje izbrano točko.

Če vsaj ena neenakost ni izpolnjena, izberite drugo točko. In tako naprej, dokler ne najdemo točke, katere koordinate zadoščajo sistemu (1.2).

Iskanje ekstrema ciljne funkcije

Torej imamo zasenčeno območje izvedljivih rešitev (ADA). Omejena je z lomljeno črto, sestavljeno iz segmentov in žarkov, ki pripadajo zgrajenim ravnim črtam (2). ODS je vedno konveksna množica. Lahko je bodisi omejena množica bodisi neomejena vzdolž nekaterih smeri.

Zdaj lahko iščemo ekstrem ciljne funkcije
(1.1) .

Če želite to narediti, izberite poljubno številko in zgradite ravno črto
(3) .
Za lažjo nadaljnjo predstavitev predpostavimo, da ta ravna črta poteka skozi ODR. Na tej premici je ciljna funkcija konstantna in enaka . tako premico imenujemo črta funkcijske ravni. Ta premica deli ravnino na dve polravnini. Na eni polravnini
.
Na drugi polravnini
.
To pomeni, da na eni strani premice (3) ciljna funkcija narašča. In bolj kot točko premikamo od premice (3), večja bo vrednost. Na drugi strani premice (3) ciljna funkcija pada. In bolj kot premaknemo točko od premice (3) na drugo stran, manjša bo vrednost. Če narišemo premico vzporedno s premico (3), bo nova premica tudi nivojska premica ciljne funkcije, vendar z drugo vrednostjo.

Torej, da bi našli največjo vrednost ciljne funkcije, je treba narisati ravno črto, vzporedno z ravno črto (3), čim dlje od nje v smeri naraščajočih vrednosti in poteka skozi vsaj eno točko od ODD. Da bi našli najmanjšo vrednost ciljne funkcije, je potrebno narisati ravno črto, vzporedno z ravno črto (3) in čim dlje od nje v smeri padajočih vrednosti, ki poteka skozi vsaj eno točko ODD.

Če je ODR neomejen, lahko pride do primera, ko takšne neposredne črte ni mogoče potegniti. Se pravi, ne glede na to, kako odstranimo ravno črto od nivojske črte (3) v smeri naraščanja (zmanjšanja), bo ravna črta vedno potekala skozi ODR. V tem primeru je lahko poljubno velik (majhen). Zato ni največje (minimalne) vrednosti. Problem nima rešitve.

Oglejmo si primer, ko skrajna premica, vzporedna s poljubno premico oblike (3), poteka skozi eno oglišče poligona ODR. Iz grafa določimo koordinate tega vrha. Potem je največja (najmanjša) vrednost ciljne funkcije določena s formulo:
.
Rešitev problema je
.

Lahko pride tudi do primera, ko je ravna črta vzporedna z eno od ploskev ODR. Nato premica poteka skozi dve točki mnogokotnika ODR. Določimo koordinate teh vozlišč. Za določitev največje (najmanjše) vrednosti ciljne funkcije lahko uporabite koordinate katerega koli od teh vozlišč:
.
Problem ima neskončno veliko rešitev. Rešitev je katera koli točka, ki se nahaja na odseku med točkama in , vključno s točkami in samimi.

Primer reševanja problema linearnega programiranja z grafično metodo

Naloga

Podjetje izdeluje obleke dveh modelov A in B. Uporabljajo se tri vrste blaga. Za izdelavo ene obleke modela A potrebujemo 2 m blaga prve vrste, 1 m blaga druge vrste in 2 m blaga tretje vrste. Za izdelavo ene obleke modela B potrebujemo 3 m blaga prve vrste, 1 m blaga druge vrste in 2 m blaga tretje vrste. Zaloge tkanine prve vrste so 21 m, druge vrste - 10 m, tretje vrste - 16 m Sprostitev enega izdelka vrste A prinaša dohodek 400 den. enot, en izdelek tipa B - 300 den. enote

Naredite proizvodni načrt, ki podjetju zagotavlja največji dohodek. Nalogo reši grafično.

rešitev

Naj spremenljivki in označujeta število izdelanih oblek, modelov A oziroma B. Potem bo količina porabljene tkanine prve vrste:
(m)
Količina porabljene tkanine druge vrste bo:
(m)
Količina porabljene tkanine tretje vrste bo:
(m)
Ker število izdelanih oblek ne more biti negativno, torej
in .
Dohodek od izdelanih oblek bo:
(den. enote)

Potem ima ekonomsko-matematični model problema obliko:

Rešujemo grafično.
Narišemo koordinatni osi in .

Gradimo ravno črto.
Ob .
Ob .
Skozi točki (0; 7) in (10,5; 0) nariši premico.

Gradimo ravno črto.
Ob .
Ob .
Skozi točki (0; 10) in (10; 0) nariši premico.

Gradimo ravno črto.
Ob .
Ob .
Skozi točki (0; 8) in (8; 0) nariši ravno črto.

Območje senčimo tako, da točka (2; 2) pade v osenčen del. Dobimo štirikotnik OABC.

(A1.1) .
Ob .
Ob .
Skozi točki (0; 4) in (3; 0) nariši premico.

Nadalje ugotavljamo, da ker sta koeficienta in ciljne funkcije pozitivna (400 in 300), se povečuje kot in narašča. Narišemo premico, ki je vzporedna s premico (A1.1), čim dlje od nje v smeri naraščanja , in poteka skozi vsaj eno točko štirikotnika OABC. Takšna premica poteka skozi točko C. Iz konstrukcije določimo njene koordinate.
.

Rešitev problema: ;

Odgovori

.
To pomeni, da je za pridobitev največjega dohodka potrebno narediti 8 oblek modela A. Dohodek bo 3200 den. enote

Primer 2

Naloga

Grafično rešite problem linearnega programiranja.

rešitev

Rešujemo grafično.
Narišemo koordinatni osi in .

Gradimo ravno črto.
Ob .
Ob .
Skozi točki (0; 6) in (6; 0) nariši premico.

Gradimo ravno črto.
Od tod.
Ob .
Ob .
Skozi točki (3; 0) in (7; 2) nariši premico.

Gradimo ravno črto.
Zgradimo premico (abscisno os).

Območje dopustnih rešitev (ADA) je omejeno z zgrajenimi premicami. Da bi ugotovili, na kateri strani, opazimo, da točka pripada ODR, saj zadošča sistemu neenačb:

Območje ob mejah sestavljenih črt senčimo tako, da točka (4; 1) pade v osenčen del. Dobimo trikotnik ABC.

Zgradimo poljubno premico ravni ciljne funkcije, npr.
.
Ob .
Ob .
Skozi točke (0; 6) in (4; 0) narišite ravno črto.
Ker ciljna funkcija narašča z naraščanjem in , narišemo premico vzporedno z nivojsko premico in čim dlje od nje v smeri naraščanja in poteka skozi vsaj eno točko trikotnika ABC. Takšna premica poteka skozi točko C. Iz konstrukcije določimo njene koordinate.
.

Rešitev problema: ;

Odgovori

Primer brez rešitve

Naloga

Grafično rešite problem linearnega programiranja. Poiščite največjo in najmanjšo vrednost ciljne funkcije.

rešitev

Nalogo rešimo grafično.
Narišemo koordinatni osi in .

Gradimo ravno črto.
Ob .
Ob .
Skozi točki (0; 8) in (2,667; 0) nariši premico.

Gradimo ravno črto.
Ob .
Ob .
Skozi točki (0; 3) in (6; 0) nariši premico.

Gradimo ravno črto.
Ob .
Ob .
Skozi točki (3; 0) in (6; 3) nariši premico.

Ravne črte so koordinatne osi.

Območje dopustnih rešitev (ADA) je omejeno s konstruiranimi premicami in koordinatnimi osemi. Da bi ugotovili, na kateri strani, opazimo, da točka pripada ODR, saj zadošča sistemu neenačb:

Območje senčimo tako, da točka (3; 3) pade v osenčen del. Dobimo neomejeno območje, ki ga omejuje lomljena črta ABCDE.

Zgradimo poljubno premico ravni ciljne funkcije, npr.
(A3.1) .
Ob .
Ob .
Skozi točki (0; 7) in (7; 0) nariši premico.
Ker sta koeficienta in pozitivna, narašča z naraščanjem in .

Če želite najti maksimum, morate narisati vzporedno črto, ki je čim bolj oddaljena v smeri naraščanja in poteka skozi vsaj eno točko območja ABCDE. Ker pa je območje neomejeno na strani velikih vrednosti in , takšne ravne črte ni mogoče narisati. Ne glede na to, katero črto potegnemo, bodo v regiji vedno točke, ki so bolj oddaljene v smeri naraščanja in . Zato ni maksimuma. lahko ga naredite tako velikega, kot želite.

Iščemo minimum. Narišemo premico vzporedno s premico (A3.1) in čim dlje od nje v smeri padanja , ki poteka skozi vsaj eno točko področja ABCDE. Takšna premica poteka skozi točko C. Iz konstrukcije določimo njene koordinate.
.
Najmanjša vrednost ciljne funkcije:

Odgovori

Največje vrednosti ni.
Najmanjša vrednost
.

Pogosto grafični prikaz fizičnega procesa naredi bolj vizualnega in s tem olajša razumevanje obravnavanega pojava. Grafi, ki včasih omogočajo znatno poenostavitev izračunov, se v praksi pogosto uporabljajo za reševanje različnih problemov. Sposobnost njihovega sestavljanja in branja je danes obvezna za mnoge strokovnjake.

Med grafične naloge štejemo naslednje naloge:

za gradnjo, kjer so risbe in risbe v veliko pomoč;
sheme, rešene z uporabo vektorjev, grafov, diagramov, diagramov in nomogramov.

1) Žogo vržemo navpično navzgor od tal z začetno hitrostjo v O. Narišite graf hitrosti žoge v odvisnosti od časa ob predpostavki, da so udarci ob tla popolnoma prožni. Zračni upor zanemarite. [rešitev]

2) Potnik, ki je zamujal na vlak, je opazil, da je mimo njega peljal predzadnji vagon t 1 = 10 s, zadnji pa – za t 2 = 8 s. Ob predpostavki, da se vlak giblje enakomerno pospešeno, določite čas zamude. [rešitev]

3) V sobi visoko H lahka vzmet s togostjo je na enem koncu pritrjena na strop k, ki ima dolžino v nedeformiranem stanju l o (l o< H ). Na tleh pod vzmetjo je nameščen blok višine x z osnovno površino S, iz materiala z gostoto ρ . Zgradite graf pritiska bloka na tla glede na višino bloka. [rešitev]

4) Žuželka se plazi vzdolž osi Ox. Določite povprečno hitrost njegovega gibanja v območju med točkama s koordinatami x 1 = 1,0 m in x 2 = 5,0 m, če je znano, da produkt hitrosti žuželke in njene koordinate ves čas ostaja konstanten, enak c = 500 cm 2 /s. [rešitev]

5) Na blok mase 10 kg sila deluje na vodoravno površino. Glede na to, da je koeficient trenja enak 0,7 , opredelite:

sila trenja za primer, če F = 50 N in usmerjen vodoravno.
sila trenja za primer, če F = 80 N in usmerjen vodoravno.
narišite graf pospeška bloka glede na vodoravno delujočo silo.
Kolikšna je najmanjša sila, potrebna za vlečenje vrvi, da se blok enakomerno premika? [rešitev]

6) Na mešalnik sta priključeni dve cevi. Vsaka cev ima pipo, s katero lahko uravnavate pretok vode skozi cev in jo spremenite od nič do največje vrednosti J o = 1 l/s. Voda teče v ceveh pri temperaturah t 1 = 10°C in t 2 = 50°C. Narišite graf največjega pretoka vode, ki teče iz mešalnika, glede na temperaturo te vode. Zanemarimo toplotne izgube. [rešitev]

7) Pozno zvečer mladenič visok h hodi po robu vodoravnega ravnega pločnika s konstantno hitrostjo v. Na daljavo l Na robu pločnika je svetilnik. Goreča svetilka je pritrjena na višini H s površja zemlje. Zgradite graf hitrosti gibanja sence glave osebe glede na koordinato x. [rešitev]