Semyonov Vlad, Ivasiro Alexander, elevii clasei a IX-a

Lucrare si prezentare pentru rezolvarea problemelor grafice. S-a realizat un joc electronic și o broșură cu sarcini grafice

Descarca:

Previzualizare:

Pentru a utiliza previzualizările prezentării, creați un cont Google și conectați-vă la el: https://accounts.google.com

Subtitrările diapozitivelor:

teză Rezolvarea problemelor este una dintre metodele de înțelegere a interconexiunii dintre legile naturii. Rezolvarea problemelor este unul dintre mijloacele importante de repetare, consolidare și autotestare a cunoștințelor. Rezolvăm majoritatea problemelor fizice analitic, dar în fizică există probleme care necesită o soluție grafică sau în care este prezentat un grafic. Aceste sarcini necesită utilizarea abilității de a citi și analiza un grafic.

Relevanța subiectului. 1) Rezolvarea și analiza problemelor grafice vă permite să înțelegeți și să vă amintiți legile și formulele de bază ale fizicii. 2) În KIM-urile pentru examenul unificat de stat în fizică și matematică sunt incluse sarcini cu conținut grafic

Scopul proiectului: 1. Publicarea unui manual de autoînvățare în rezolvarea problemelor grafice. 2. Creați un joc electronic. Sarcini: 1. Selectați sarcini grafice pe diverse subiecte. 2. Aflați tiparul general în rezolvarea problemelor grafice.

Citirea unui grafic Determinarea proceselor termice Determinarea perioadei, amplitudinii, ... Determinarea lui Ek, Er

În cursul fizicii 7-9, se pot evidenția legi care sunt exprimate prin dependență directă: X(t), m (ρ), I (q), F control(Δ x), F tr(N), F ( m), P ( v) , p (F) p (h) , F а(V t) …, dependență pătratică: E к =mv 2 /2 E р =CU 2 /2 E р =kx 2 /2

1 . Comparați capacitatea condensatoarelor 2.Care dintre punctele indicate mai jos pe diagrama dependenței impulsului unui corp de masa acestuia corespunde vitezei minime? Să luăm în considerare problemele 3 1 2

1.Care este relația dintre coeficienții de rigiditate? 2. Corpul, care se află în repaus în momentul inițial, se mișcă sub influența unei forțe constante, așa cum se arată în figură. Determinați mărimea proiecției acestei forțe dacă masa corporală este de 3 kg.

Vă rugăm să rețineți că este dat P(V), iar întrebarea este despre Ek 1. În care dintre următoarele relații se află energiile cinetice a trei corpuri de mase diferite la un moment dat când viteza lor este aceeași? 2. Pe baza proiecției deplasării în funcție de timp pentru un corp care cântărește 2 kg, determinați impulsul corpului la timpul de 2 s. (Viteza inițială este zero.)

1 . Care dintre următoarele grafice reprezintă cel mai precis relația dintre viteza proiectată și timp? (Viteza inițială este zero.) E De la o dependență la alta De la grafic la grafic

2. Un corp cu masa de 1 kg își modifică proiecția vitezei așa cum se arată în figură. Care dintre următoarele grafice ale proiecției forței în funcție de timp corespunde acestei mișcări?

Într-un curs de fizică, există probleme cu mai multe moduri de a le rezolva: 1. Calculați viteza medie 2. Determinați relația dintre proiecțiile mișcării corpurilor în momentul în care vitezele corpurilor sunt aceleași. 10 5 0 V,x ; m/s t,s I II III

Metoda nr. 1 10 5 0 V,x ; m/s t,c I II III a x= V 2x – V 1x t 2 – t 1 2 S=v 0 t+at 2 /2

Metoda nr. 2 10 5 0 Vx; m/s t,s I II III Sx= (V 0 x + Vx) t/ 2

Metoda nr. 3 10 5 0 V,x ; m/s t,s I II III S 3 x= 1 *S S 2 x= 2 *S S 1 x: S 2 x: S 3 x= 3: 2: 1 S 1 x= 3 *S

Slide suplimentar Evident, a treia metodă de soluție nu necesită calcule intermediare, prin urmare este mai rapidă și, prin urmare, mai convenabilă. Să aflăm în ce sarcini este posibilă o astfel de utilizare a spațiului.

Analiza problemelor rezolvate arată că, dacă produsul dintre X și Y este o mărime fizică, atunci este egal cu aria figurii limitată de grafic. P=IU, A=Fs S=vt, V=at, v0 =0 Δp/t=F, q=It Fa=V ρ g,…. X y

1. Figura prezintă un grafic al proiecției vitezei unui anumit corp în funcție de timp. Determinați proiecția deplasării și traseul acestui corp la 5 s după începerea mișcării. Vx ; m/s 3 0 -2 3 t; s 5 A) 5 m, 13 m B) 13 m, 5 m C) -1 m, 0 m D) 9 m, -4 m E) 15 m, 5 m

0 4 6 8 1 2 3 4 5 6 t, s V, m/s 2. Să se determine viteza medie a biciclistului în timpul t=6s. Tot drumul pentru tot timpul S x = S trapez 4,7 m / s

Modificarea impulsului unui corp este determinată de aria figurii - un dreptunghi dacă forța este constantă și un triunghi dreptunghic dacă forța depinde liniar de timp. F t F t t F

3. Cea mai mare modificare a impulsului unui corp în 2s F t 1 .A 2 .B 3 .C 1 C B A Sugestie: Ft=S f =  p

4. Folosind dependența impulsului corpului de timp, determinați forța rezultantă care acționează asupra acestui corp. A) 3H B) 8H C) 12H D) 2H E) 16 capcană P; kg* m/s 6 2 0 2 t ; c F= Δ p/t=(6-2)/2=2

Lucrul mecanic Lucrul mecanic, constant ca mărime și direcția forței, este numeric egal cu aria dreptunghiului. Lucrul mecanic al forței, a cărui mărime depinde de modulul de deplasare conform unei legi liniare, este numeric egal cu aria triunghiului dreptunghic. S 0 F F * s = A = S dreptunghiular S 0 F A = S dreptunghiular

5. Figura arată dependența forței care acționează asupra corpului de deplasare. Determinați munca efectuată de această forță atunci când corpul se mișcă cu 20 cm. A) 20J. B) 8J. C) 0,8J. D) 40J. E) 0,4J. capcană cm la metri

Calculați sarcina 4 I,A 6 2 U,B 4 8 12 16 20 24 Calculați rezistența Calculați A, Δ Ek pentru 4 s Calculați Er al arcului

6. Sub influența unei forțe variabile, un corp cu masa de 1 kg își modifică proiecția vitezei în timp, așa cum se arată în figură. Este dificil de determinat lucrul rezultantei acestei forțe în 8 secunde după începerea mișcării A) 512J B) 128J C) 112J D) 64J E) 132J A=FS , S= S (t=4c) =32m , F =ma, a =(v -v0)t=2 m/s 2

concluzie În urma muncii noastre, am publicat o broșură cu sarcini grafice pentru soluții independente și am creat un joc electronic. Lucrarea s-a dovedit a fi utilă pentru pregătirea pentru examenul de stat unificat, precum și pentru studenții interesați de fizică. În viitor, luarea în considerare a altor tipuri de probleme și soluționarea acestora.

Dependențe funcționale ale mărimilor fizice. Metode generale, tehnici și reguli de abordare a rezolvării problemelor grafice Proiectul „TALKING LINE” MBOU Școala Gimnazială Nr. 8 Yuzhno-Sakhalinsk Completat de: Semyonov Vladislav, Ivasiro Alexander, elevii clasei a IX-a „A”

Surse de informare. 1. Lukashik V.I., Ivanova E.V. Culegere de probleme de fizică. Moscova „Iluminismul” 2000 2. Stepanova G.I Culegere de probleme de fizică M. Iluminismul 1995 3. Rymkevich A.P Culegere de probleme de fizică Moscova. Educaţie 1988. 4. www.afportal.ru 5. A.V. Peryshkin, E.M. Gutnik Manual de fizică pentru clasele a 7-a, a 8-a, a 9-a. 6. materiale GIA 7. S.E. Kamenetsky, V.P. Orekhov Metode de rezolvare a problemelor de fizică în liceu. M: Educaţie, 1987. 8. V.A. Balazs Probleme de fizică și metode de rezolvare a acestora. „Iluminarea” de la Moscova 1983

Experții demonstrează avantajul educației tehnice față de științe umaniste, ei demonstrează că Rusia are mare nevoie de ingineri și specialiști tehnici de înaltă calificare, iar această tendință va continua nu numai în 2014, ci și în următorii ani. Potrivit specialiștilor în selecția personalului, dacă țara se așteaptă la o creștere economică în următorii ani (și există condiții prealabile pentru aceasta), atunci este foarte probabil ca baza educațională din Rusia să nu poată face față multor sectoare (tehnologie înaltă, industrie) . „În momentul de față, pe piața muncii există un deficit acut de specialiști în domeniul ingineriei și specialităților tehnice, în domeniul IT: programatori, dezvoltatori de software. La cerere rămân ingineri de aproape toate specializările. În același timp, piața este suprasaturată cu avocați, economiști, jurnaliști, psihologi”, – spune directorul general al Agenției de Recrutare pentru Specialiști Unici Ekaterina Krupina. Analiştii, care fac prognoze pe termen lung până în 2020, sunt încrezători că cererea de specialităţi tehnice va creşte rapid în fiecare an. Relevanța problemei. Prin urmare, calitatea pregătirii pentru Examenul Unificat de Stat în fizică este importantă. Stăpânirea metodelor de rezolvare a problemelor fizice este crucială. O varietate de sarcini fizice sunt sarcini grafice. 1) Rezolvarea și analiza problemelor grafice vă permite să înțelegeți și să vă amintiți legile și formulele de bază ale fizicii. 2) În KIM-urile pentru examenul de stat unificat în fizică sunt incluse sarcini cu conținut grafic.

Descărcați lucrarea cu prezentare.

OBIECTIVUL LUCRĂRII PROIECTULUI:

Studierea tipurilor de probleme grafice, soiurilor, caracteristicilor și metodelor de rezolvare .

OBIECTIVELE LUCRĂRII:

1. Studierea literaturii despre sarcini grafice; 2. Studiul materialelor Unified State Exam (prevalența și nivelul de complexitate al sarcinilor grafice); 3. Studiul problemelor grafice generale si specifice din diferite ramuri ale fizicii, grad de complexitate. 4. Studiul metodelor de soluţionare; 5. Efectuarea unei anchete sociologice în rândul elevilor și cadrelor didactice.

Problema de fizica

În literatura metodologică și educațională, sarcinile fizice educaționale sunt înțelese ca exerciții selectate corespunzător, al căror scop principal este studierea fenomenelor fizice, formarea conceptelor, dezvoltarea gândirii fizice a elevilor și insuflarea lor capacitatea de a-și aplica cunoștințele în practică.

Învățarea elevilor să rezolve problemele fizice este una dintre cele mai dificile probleme pedagogice. Cred că această problemă este foarte relevantă. Proiectul meu își propune să rezolve două probleme:

1. Ajutor în învățarea școlarilor a abilității de a rezolva probleme grafice;

2. Implicați elevii în acest tip de muncă.

Rezolvarea și analiza unei probleme vă permite să înțelegeți și să vă amintiți legile și formulele de bază ale fizicii, să vă creați o idee despre caracteristicile și limitele lor de aplicare. Problemele dezvoltă abilitățile de utilizare a legilor generale ale lumii materiale pentru a rezolva probleme specifice de importanță practică și educațională. Capacitatea de a rezolva probleme este cel mai bun criteriu de evaluare a profunzimii de studiu a materialului programului și de asimilare a acestuia.

În studiile de identificare a gradului în care studenții au stăpânit operațiunile individuale incluse în capacitatea de a rezolva probleme, s-a constatat că 30-50% dintre elevii din diferite clase indică că le lipsesc astfel de abilități.

Incapacitatea de a rezolva probleme este unul dintre principalele motive pentru scăderea succesului în studiul fizicii. Studiile au arătat că incapacitatea de a rezolva probleme în mod independent este principalul motiv pentru finalizarea neregulată a temelor. Doar o mică parte dintre studenți stăpânesc capacitatea de a rezolva probleme, pe care o consideră una dintre cele mai importante condiții pentru îmbunătățirea calității cunoștințelor în fizică.

Această stare a practicii de învățare poate fi explicată prin lipsa unor cerințe clare pentru formarea acestei aptitudini, lipsa motivațiilor interne și a interesului cognitiv în rândul elevilor.

Rezolvarea problemelor în procesul de predare a fizicii are funcții multiple:

Stăpânirea cunoștințelor teoretice.
Stăpânirea conceptelor de fenomene și mărimi fizice.
Dezvoltarea mentală, gândirea creativă și abilitățile speciale ale elevilor.
Prezintă elevii în realizările științei și tehnologiei.
Dezvoltă munca grea, perseverența, voința, caracterul și determinarea.
Este un mijloc de monitorizare a cunoștințelor, abilităților și abilităților elevilor.

Sarcină grafică.

Sarcinile grafice sunt acele sarcini în procesul de rezolvare a căror grafice, diagrame, tabele, desene și diagrame sunt utilizate.

De exemplu:

1. Construiți un grafic al traseului mișcării uniforme dacă v = 2 m/s sau mișcarea uniform accelerată dacă v 0 = 5 m/s și a = 3 m/s 2 .

2. Ce fenomene sunt caracterizate de fiecare parte a graficului...

3. Care corp se mișcă mai repede

4. În ce zonă s-a mișcat corpul mai repede?

5. Determinați distanța parcursă din graficul vitezei.

6. În ce parte a mișcării era corpul în repaus. Viteza a crescut și a scăzut.

Rezolvarea problemelor grafice ajută la înțelegerea relației funcționale dintre mărimile fizice, la dezvoltarea abilităților de lucru cu grafice și la dezvoltarea capacității de a lucra cu scale.

Pe baza rolului graficelor în rezolvarea problemelor, acestea pot fi împărțite în două tipuri: - probleme, al căror răspuns la întrebare se poate găsi ca urmare a construirii unui grafic; - sarcini pentru care răspunsul poate fi găsit prin analiza graficului.

Sarcinile grafice pot fi combinate cu cele experimentale.

De exemplu:

Folosind un pahar umplut cu apă, determinați greutatea unui bloc de lemn...

Pregătirea pentru rezolvarea problemelor grafice.

Pentru a rezolva probleme grafice, elevul trebuie să cunoască diferite tipuri de dependențe funcționale, ceea ce înseamnă intersecția graficelor cu axe și a graficelor între ele. Trebuie să înțelegeți cum diferă dependențele, de exemplu, x = x 0 + vt și x = v 0 t + la 2 /2 sau x = x m sinω 0 t și x = - x m sinω 0 t; x =x m sin(ω 0 t+ α) și x =x m cos (ω 0 t+ α), etc.

Planul de pregătire trebuie să conțină următoarele secțiuni:

· a) Repetați graficele funcțiilor (liniare, pătratice, de putere) · b) Aflați ce rol joacă graficele în fizică, ce informații poartă. · c) Sistematizează problemele fizice în funcţie de semnificaţia graficelor din ele. · d) Studierea metodelor şi tehnicilor de analiză a graficelor fizice · e) Elaborarea unui algoritm de rezolvare a problemelor grafice din diverse ramuri ale fizicii · f) Aflarea modelului general în rezolvarea problemelor grafice. Pentru a stăpâni metodele de rezolvare a problemelor, este necesar să se rezolve un număr mare de tipuri diferite de probleme, respectând principiul - „De la simplu la complex”. Începând cu cele simple, stăpânește metode de rezolvare, compară, generalizează diferite probleme atât pe baza de grafice, cât și pe tabele, diagrame, diagrame. Ar trebui să acordați atenție desemnării cantităților de-a lungul axelor de coordonate (unități de mărimi fizice, prezența prefixelor submultiple sau multiple), la scară, tipul de dependență funcțională (liniară, pătratică, logaritmică, trigonometrică etc.), unghiurile de înclinare ale graficelor, punctele de intersecție ale graficelor cu axe de coordonate sau grafice între ele. Este necesar să se abordeze cu atenție problemele cu „erori” inerente, precum și problemele cu fotografiile cântarelor instrumentelor de măsurare. În acest caz, este necesar să se determine corect valoarea diviziunii instrumentelor de măsură și să se citească cu precizie valorile cantităților măsurate. În problemele care implică optica geometrică, este deosebit de important să se construiască cu atenție și exactitate razele și să se determine intersecțiile acestora cu axele și între ele.

Cum se rezolvă problemele de grafică

Stăpânirea algoritmului general de rezolvare a problemelor fizice

1. Efectuarea unei analize a condițiilor problemei cu identificarea sarcinilor sistemului, fenomenelor și proceselor descrise în problemă, cu determinarea condițiilor de apariție a acestora

2. Codificarea condițiilor problemei și a procesului de soluționare la diferite niveluri:

a) o scurtă prezentare a condițiilor problemei;

b) realizarea desenelor si schemelor electrice;

c) executarea desenelor, graficelor, diagramelor vectoriale;

d) scrierea unei ecuații (sistem de ecuații) sau construirea unei concluzii logice

3. Identificarea metodei și metodelor adecvate pentru rezolvarea unei probleme specifice

4. Aplicarea unui algoritm general pentru rezolvarea problemelor de diferite tipuri

Rezolvarea problemei începe cu citirea condițiilor. Trebuie să vă asigurați că toți termenii și conceptele din condiție sunt clare pentru studenți. Termenii neclari sunt clarificați după citirea inițială. În același timp, este necesar să evidențiem ce fenomen, proces sau proprietate a corpurilor este descris în problemă. Apoi problema este citită din nou, dar cu datele și cantitățile necesare evidențiate. Și numai după aceasta se efectuează o scurtă înregistrare a condițiilor problemei.

Planificare

Acțiunea de orientare permite o analiză secundară a condițiilor percepute ale sarcinii, în urma căreia sunt identificate teorii fizice, legi, ecuații care explică o anumită sarcină. Apoi se identifică metode de rezolvare a problemelor unei clase și se găsește metoda optimă de rezolvare a acestei probleme. Rezultatul activității elevului este un plan de soluții, care include un lanț de acțiuni logice. Este monitorizată corectitudinea acțiunilor de întocmire a unui plan de rezolvare a problemei.

Procesul de rezolvare

În primul rând, este necesar să se clarifice conținutul acțiunilor deja cunoscute. Actiunea de orientare in aceasta etapa presupune inca o data evidentierea metodei de rezolvare a problemei si clarificarea tipului de problema de rezolvat prin metoda stabilirii conditiilor. Următorul pas este planificarea. Este planificată o metodă de rezolvare a problemei, aparatul (logic, matematic, experimental) cu ajutorul căruia este posibil să se realizeze soluția ulterioară.

Analiza soluției

Ultima etapă a procesului de rezolvare a problemei este verificarea rezultatului obținut. Se realizează din nou prin aceleași acțiuni, dar conținutul acțiunilor se modifică. Acțiunea de orientare este aflarea esenței a ceea ce trebuie verificat. De exemplu, rezultatele soluției pot fi valorile coeficienților, caracteristicile constante fizice ale mecanismelor și mașinilor, fenomenelor și proceselor.

Rezultatul obținut din rezolvarea problemei trebuie să fie plauzibil și în concordanță cu bunul simț.

Prevalența sarcinilor grafice în mașinile de simulare pe computer în sarcinile de examinare unificată de stat

Studiul materialelor Unified State Exam pentru un număr de ani (2004 - 2013) a arătat că problemele grafice din diferite secțiuni ale fizicii sunt comune în sarcinile Unified State Exam din diferite secțiuni ale fizicii. La sarcinile A: la mecanică - 2-3 la fizică moleculară - 1 la termodinamică - 3 la electrodinamică - 3-4 la optică - 1-2 la fizica cuantică - 1 la fizica atomică și nucleară - 1 La sarcinile B: la mecanică - 1 la fizica moleculara - 1 la termodinamica - 1 la electrodinamica - 1 la optica - 1 la fizica cuantica - 1 la fizica atomica si nucleara - 1 la sarcinile C: la mecanica - la fizica moleculara - la termodinamica - 1 la electrodinamica - 1 in optica - 1 la fizica cuantica - la fizica atomica si nucleara - 1

Cercetarea noastră

A. Analiza erorilor la rezolvarea problemelor grafice

Analiza rezolvării problemelor grafice a arătat că apar următoarele erori comune:

Erori la citirea graficelor;

Erori în operaţiile cu mărimi vectoriale;

Erori la analiza graficelor de izoproces;

Erori în dependența grafică a mărimilor electrice;

Erori la construirea folosind legile opticii geometrice;

Erori în sarcinile grafice privind legile cuantice și efectul fotoelectric;

Erori în aplicarea legilor fizicii atomice.

B. Ancheta sociologică

Pentru a afla modul în care elevii sunt conștienți de sarcinile grafice, am realizat o anchetă sociologică.

Le-am adresat elevilor și profesorilor școlii noastre următoarele întrebări: profile:

1. Ce este o sarcină grafică?

a) probleme cu pozele;

b) sarcini care conțin diagrame, diagrame;

c) nu stiu.

2. Pentru ce sunt sarcinile grafice?

b) să dezvolte capacitatea de a construi grafice;

c) nu stiu.

3. Puteți rezolva problemele grafice?

a) da; b) nu; c) nu sunt sigur ;

4. Vrei să înveți cum să rezolvi problemele grafice?

A) da ; b) nu; c) Îmi este greu să răspund.

50 de persoane au fost intervievate. În urma sondajului au fost obținute următoarele date:

CONCLUZII:

Ca urmare a lucrului la proiectul „Sarcini grafice”, am studiat caracteristicile sarcinilor grafice.
Am studiat caracteristicile metodologiei de rezolvare a problemelor grafice.
Am analizat erorile tipice.
A realizat un sondaj sociologic.

Reflecția activității:

A fost interesant pentru noi să lucrăm la problema sarcinilor de grafică.
Am învățat cum să desfășurăm activități de cercetare, să comparăm și să contrastăm rezultatele cercetării.
Am constatat că stăpânirea metodelor de rezolvare a problemelor grafice este necesară pentru înțelegerea fenomenelor fizice.
Am aflat că stăpânirea metodelor de rezolvare a problemelor grafice este necesară pentru promovarea cu succes a Examenului Unificat de Stat.

Dacă o problemă de programare liniară are doar două variabile, atunci poate fi rezolvată grafic.

Luați în considerare o problemă de programare liniară cu două variabile și:
(1.1) ;
(1.2)
Aici, există numere arbitrare. Sarcina poate fi fie de a găsi maximul (max) fie de a găsi minimul (min). Sistemul de restricții poate conține atât semne, cât și semne.

Construirea domeniului soluțiilor fezabile

Metoda grafică de rezolvare a problemei (1) este următoarea.
Mai întâi, desenăm axele de coordonate și selectăm scara. Fiecare dintre inegalitățile sistemului de constrângeri (1.2) definește un semiplan mărginit de dreapta corespunzătoare.

Deci, prima inegalitate
(1.2.1)
definește un semiplan mărginit de o dreaptă. Pe o parte a acestei linii drepte și pe cealaltă parte. Pe linie foarte dreaptă. Pentru a afla de ce parte are loc inegalitatea (1.2.1), alegem un punct arbitrar care nu se află pe linie. În continuare, înlocuim coordonatele acestui punct în (1.2.1). Dacă inegalitatea este valabilă, atunci semiplanul conține punctul selectat. Dacă inegalitatea nu este valabilă, atunci semiplanul este situat pe cealaltă parte (nu conține punctul selectat). Umbriți semiplanul pentru care este valabilă inegalitatea (1.2.1).

Facem același lucru pentru inegalitățile rămase ale sistemului (1.2). În acest fel obținem semiplanuri umbrite. Punctele regiunii soluțiilor fezabile satisfac toate inegalitățile (1.2). Prin urmare, grafic, regiunea soluțiilor fezabile (ADA) este intersecția tuturor semiplanurilor construite. Umbrirea ODR. Este un poligon convex ale cărui fețe aparțin dreptelor construite. De asemenea, un ODF poate fi o figură convexă nelimitată, un segment, o rază sau o linie dreaptă.

Poate apărea și cazul în care semiplanurile nu conțin puncte comune. Atunci domeniul soluțiilor fezabile este mulțimea goală. Această problemă nu are soluții.

Metoda poate fi simplificată. Nu trebuie să umbriți fiecare semiplan, ci mai întâi construiți toate liniile drepte
(2)
Apoi, selectați un punct arbitrar care nu aparține niciuna dintre aceste linii. Înlocuiți coordonatele acestui punct în sistemul de inegalități (1.2). Dacă toate inegalitățile sunt satisfăcute, atunci regiunea soluțiilor fezabile este limitată de liniile drepte construite și include punctul selectat. Umbrim regiunea soluțiilor fezabile de-a lungul limitelor liniilor, astfel încât să includă punctul selectat.

Dacă cel puțin o inegalitate nu este satisfăcută, atunci alegeți un alt punct. Și așa mai departe până când se găsește un punct ale cărui coordonate satisfac sistemul (1.2).

Găsirea extremului funcției obiectiv

Deci, avem o regiune umbrită de soluții fezabile (ADA). Este limitată de o linie întreruptă formată din segmente și raze aparținând liniilor drepte construite (2). ODS este întotdeauna un set convex. Poate fi fie o mulțime mărginită, fie nemărginită de-a lungul unor direcții.

Acum putem căuta extremul funcției obiectiv
(1.1) .

Pentru a face acest lucru, alegeți orice număr și construiți o linie dreaptă
(3) .
Pentru comoditatea unei prezentări ulterioare, presupunem că această linie dreaptă trece prin ODR. Pe această linie funcția obiectiv este constantă și egală cu . o astfel de linie dreaptă se numește linie de nivel de funcție. Această linie dreaptă împarte planul în două semiplane. Pe un semiplan
.
Pe alt semiplan
.
Adică pe o parte a dreptei (3) funcția obiectiv crește. Și cu cât deplasăm punctul mai departe de linia dreaptă (3), cu atât valoarea va fi mai mare. Pe cealaltă parte a dreptei (3), funcția obiectiv scade. Și cu cât deplasăm mai departe punctul de la linia dreaptă (3) pe cealaltă parte, cu atât valoarea va fi mai mică. Dacă trasăm o linie dreaptă paralelă cu linia (3), atunci noua linie dreaptă va fi și o linie de nivel a funcției obiectiv, dar cu o valoare diferită.

Astfel, pentru a afla valoarea maximă a funcției obiectiv, este necesar să se tragă o dreaptă paralelă cu dreapta (3), cât mai departe de aceasta pe direcția creșterii valorilor, și care să treacă prin cel puțin un punct. a ODD-ului. Pentru a afla valoarea minimă a funcției obiectiv, este necesar să se tragă o dreaptă paralelă cu dreapta (3) și pe cât posibil de aceasta în direcția valorilor descrescătoare, și trecând prin cel puțin un punct al ODD.

Dacă ODR este nelimitat, atunci poate apărea un caz în care o astfel de linie directă nu poate fi trasă. Adică, indiferent de modul în care scoatem linia dreaptă de pe linia de nivel (3) în direcția creșterii (scăderii), linia dreaptă va trece întotdeauna prin ODR. În acest caz, poate fi în mod arbitrar mare (mic). Prin urmare, nu există o valoare maximă (minimă). Problema nu are soluții.

Să luăm în considerare cazul în care linia extremă paralelă cu o dreaptă arbitrară de forma (3) trece printr-un vârf al poligonului ODR. Din grafic determinăm coordonatele acestui vârf. Apoi valoarea maximă (minimă) a funcției obiectiv este determinată de formula:
.
Soluția problemei este
.

De asemenea, poate exista un caz în care linia dreaptă este paralelă cu una dintre fețele ODR. Apoi linia dreaptă trece prin două vârfuri ale poligonului ODR. Determinăm coordonatele acestor vârfuri. Pentru a determina valoarea maximă (minimă) a funcției obiectiv, puteți utiliza coordonatele oricăruia dintre aceste vârfuri:
.
Problema are o infinitate de solutii. Soluția este orice punct situat pe segmentul dintre punctele și , inclusiv punctele și ei înșiși.

Un exemplu de rezolvare a unei probleme de programare liniară folosind metoda grafică

Sarcina

Compania produce rochii de două modele A și B. Se folosesc trei tipuri de țesături. Pentru a realiza o rochie de model A, sunt necesari 2 m de țesătură de primul tip, 1 m de țesătură de al doilea tip, 2 m de țesătură de al treilea tip. Pentru a realiza o rochie de model B, sunt necesari 3 m de țesătură de primul tip, 1 m de țesătură de al doilea tip, 2 m de țesătură de al treilea tip. Stocurile de țesături de primul tip sunt de 21 m, de al doilea tip - 10 m, de al treilea tip - 16 m. Eliberarea unui produs de tip A aduce un venit de 400 den. unități, un produs tip B - 300 den. unitati

Întocmește un plan de producție care să ofere companiei cele mai mari venituri. Rezolvați problema grafic.

Soluţie

Fie variabilele și notăm numărul de rochii produse, modelele A și respectiv B. Atunci cantitatea de material textil de primul tip consumata va fi:
(m)
Cantitatea de material de al doilea tip consumată va fi:
(m)
Cantitatea de material de al treilea tip consumată va fi:
(m)
Întrucât numărul de rochii produse nu poate fi negativ, atunci
Și .
Veniturile din rochiile produse vor fi:
(unități den.)

Atunci modelul economico-matematic al problemei are forma:

O rezolvam grafic.
Desenăm axele de coordonate și .

Construim o linie dreaptă.
La .
La .
Desenați o linie dreaptă prin punctele (0; 7) și (10.5; 0).

Construim o linie dreaptă.
La .
La .
Desenați o linie dreaptă prin punctele (0; 10) și (10; 0).

Construim o linie dreaptă.
La .
La .
Desenați o linie dreaptă prin punctele (0; 8) și (8; 0).

Umbrim zona astfel încât punctul (2; 2) să cadă în partea umbrită. Obținem patrulaterul OABC.

(A1.1) .
La .
La .
Desenați o linie dreaptă prin punctele (0; 4) și (3; 0).

Mai observăm că, deoarece coeficienții și ai funcției obiectiv sunt pozitivi (400 și 300), ea crește pe măsură ce și crește. Desenăm o dreaptă paralelă cu dreapta (A1.1), cât mai departe posibil de aceasta în direcția creșterii , și care trece prin cel puțin un punct al patrulaterului OABC. O astfel de dreaptă trece prin punctul C. Din construcție îi determinăm coordonatele.
.

Rezolvarea problemei: ;

Răspuns

.
Adică pentru a obține cel mai mare venit este necesar să faceți 8 rochii model A. Venitul va fi de 3200 den. unitati

Exemplul 2

Sarcina

Rezolvați grafic o problemă de programare liniară.

Soluţie

O rezolvam grafic.
Desenăm axele de coordonate și .

Construim o linie dreaptă.
La .
La .
Desenați o linie dreaptă prin punctele (0; 6) și (6; 0).

Construim o linie dreaptă.
De aici.
La .
La .
Desenați o linie dreaptă prin punctele (3; 0) și (7; 2).

Construim o linie dreaptă.
Construim o linie dreaptă (axa absciselor).

Regiunea soluțiilor admisibile (ADA) este limitată de liniile drepte construite. Pentru a afla care parte, observăm că punctul aparține ODR, deoarece satisface sistemul de inegalități:

Umbrim zona de-a lungul limitelor liniilor construite, astfel încât punctul (4; 1) să cadă în partea umbrită. Obținem triunghiul ABC.

Construim o linie arbitrară a nivelului funcției obiectiv, de exemplu,
.
La .
La .
Desenați o linie dreaptă de nivel prin punctele (0; 6) și (4; 0).
Deoarece funcția obiectiv crește odată cu creșterea și , trasăm o dreaptă paralelă cu linia de nivel și pe cât posibil de aceasta în direcția creșterii , și care trece prin cel puțin un punct al triunghiului ABC. O astfel de dreaptă trece prin punctul C. Din construcție îi determinăm coordonatele.
.

Rezolvarea problemei: ;

Răspuns

Exemplu fără soluție

Sarcina

Rezolvați grafic o problemă de programare liniară. Aflați valoarea maximă și minimă a funcției obiectiv.

Soluţie

Rezolvăm problema grafic.
Desenăm axele de coordonate și .

Construim o linie dreaptă.
La .
La .
Desenați o linie dreaptă prin punctele (0; 8) și (2.667; 0).

Construim o linie dreaptă.
La .
La .
Desenați o linie dreaptă prin punctele (0; 3) și (6; 0).

Construim o linie dreaptă.
La .
La .
Desenați o linie dreaptă prin punctele (3; 0) și (6; 3).

Liniile drepte sunt axele de coordonate.

Regiunea soluțiilor admisibile (ADA) este limitată de liniile drepte construite și axele de coordonate. Pentru a afla care parte, observăm că punctul aparține ODR, deoarece satisface sistemul de inegalități:

Umbrim zona astfel încât punctul (3; 3) să cadă în partea umbrită. Obținem o zonă nemărginită delimitată de linia întreruptă ABCDE.

Construim o linie arbitrară a nivelului funcției obiectiv, de exemplu,
(A3.1) .
La .
La .
Desenați o linie dreaptă prin punctele (0; 7) și (7; 0).
Deoarece coeficienții lui și sunt pozitivi, acesta crește odată cu creșterea și .

Pentru a găsi maximul, trebuie să trasați o linie paralelă, care este cât mai departe posibil în direcția creșterii și care trece prin cel puțin un punct al regiunii ABCDE. Cu toate acestea, deoarece zona este nelimitată pe partea valorilor mari ale și , o astfel de linie dreaptă nu poate fi trasă. Indiferent ce linie tragem, vor exista întotdeauna puncte în regiune care sunt mai îndepărtate în direcția creșterii și . Prin urmare, nu există maxim. o poți face cât de mare vrei.

Căutăm minim. Tragem o linie dreaptă paralelă cu dreapta (A3.1) și pe cât posibil de aceasta în direcția descrescătoare , și trecând prin cel puțin un punct al regiunii ABCDE. O astfel de dreaptă trece prin punctul C. Din construcție îi determinăm coordonatele.
.
Valoarea minimă a funcției obiectiv:

Răspuns

Nu există o valoare maximă.
Valoarea minima
.

Adesea, o reprezentare grafică a unui proces fizic îl face mai vizual și, prin urmare, facilitează înțelegerea fenomenului luat în considerare. Uneori, făcând posibilă simplificarea semnificativă a calculelor, graficele sunt utilizate pe scară largă în practică pentru a rezolva diverse probleme. Capacitatea de a le construi și de a le citi este obligatorie pentru mulți specialiști astăzi.

Considerăm că următoarele sarcini sunt sarcini grafice:

pentru construcții, unde desenele și desenele sunt de mare ajutor;
scheme rezolvate folosind vectori, grafice, diagrame, diagrame și nomograme.

1) Mingea este aruncată vertical în sus de la sol cu o viteză inițială v O. Trasează un grafic al vitezei mingii în funcție de timp, presupunând că impacturile asupra solului sunt perfect elastice. Neglijați rezistența aerului. [soluție]

2) Un pasager care a întârziat la tren a observat că penultimul vagon a trecut pe lângă el t 1 = 10 s, iar ultimul - pentru t 2 = 8 s. Presupunând că mișcarea trenului este accelerată uniform, determinați timpul de întârziere. [soluție]

3) Într-o cameră înaltă H un arc ușor cu rigiditate este atașat de tavan la un capăt k, având o lungime în starea nedeformată l o (l o< H ). Un bloc de înălțime este așezat pe podea sub arc X cu suprafata de baza S, din material cu o densitate ρ . Construiți un grafic al presiunii blocului pe podea față de înălțimea blocului. [soluție]

4) Bug-ul se târăște de-a lungul axei Bou. Determinați viteza medie a mișcării sale în zona dintre punctele cu coordonate x 1 = 1,0 mȘi x 2 = 5,0 m, dacă se știe că produsul dintre viteza insectei și coordonatele acesteia rămâne constant tot timpul, egal cu c = 500 cm2/s. [soluție]

5) La un bloc de masă 10 kg se aplică o forță pe o suprafață orizontală. Având în vedere că coeficientul de frecare este egal cu 0,7 , defini:

forța de frecare pentru cazul dacă F = 50 Nși îndreptată orizontal.
forța de frecare pentru cazul dacă F = 80 Nși îndreptată orizontal.
desenați un grafic al accelerației blocului față de forța aplicată orizontal.
Care este forța minimă necesară pentru a trage frânghia pentru a deplasa blocul uniform? [soluție]

6) Există două conducte conectate la malaxor. Fiecare conductă are un robinet care poate fi folosit pentru a regla debitul de apă prin conductă, schimbându-l de la zero la valoarea maximă J o = 1 l/s. Apa curge în conducte la temperaturi t1 = 10°CȘi t2 = 50°C. Trasează un grafic al debitului maxim de apă care curge din mixer în funcție de temperatura apei respective. Neglijați pierderile de căldură. [soluție]

7) Seara târziu un tânăr înalt h merge pe marginea unui trotuar drept orizontal cu viteză constantă v. La distanta l Există un stâlp de lampă de la marginea trotuarului. Lanterna care arde este fixată la înălțime H de la suprafața pământului. Construiți un grafic al vitezei de mișcare a umbrei capului unei persoane în funcție de coordonată X. [soluție]