Semyonov Vlad, Ivasiro Alexander, alunos do 9º ano

Trabalho e apresentação para resolução de problemas gráficos. Foram confeccionados um jogo eletrônico e um folheto com tarefas gráficas

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Legendas dos slides:

tese A resolução de problemas é um dos métodos para compreender a interconexão das leis da natureza. A resolução de problemas é um dos meios importantes de repetição, consolidação e autoteste de conhecimentos. Resolvemos a maioria dos problemas físicos analiticamente, mas em física existem problemas que requerem uma solução gráfica ou em que é apresentado um gráfico. Essas tarefas requerem o uso da habilidade de ler e analisar um gráfico.

Relevância do tema. 1) Resolver e analisar problemas gráficos permite compreender e lembrar as leis e fórmulas básicas da física. 2) Nos KIMs para o Exame Estadual Unificado em física e matemática, estão incluídas tarefas com conteúdo gráfico

Objectivo do projecto: 1. Publicar um manual de auto-aprendizagem na resolução de problemas gráficos. 2. Crie um jogo eletrônico. Tarefas: 1. Selecione tarefas gráficas sobre vários tópicos. 2. Descubra o padrão geral na resolução de problemas gráficos.

Lendo um gráfico Determinação de processos térmicos Determinação de período, amplitude, ... Determinação de Ek, Er

No curso de física 7-9, podem-se destacar leis que são expressas por dependência direta: X(t), m (ρ), I (q), F controle(Δ x), F tr(N), F ( m), P ( v) , p (F) p (h) , F а(V t) …, dependência quadrática: E к =mv 2/2 E р =CU 2/2 E р =kx 2/2

1. Compare a capacitância dos capacitores 2.Qual dos pontos indicados abaixo no diagrama da dependência do momento de um corpo em sua massa corresponde à velocidade mínima? Vamos considerar os problemas 3 1 2

1.Qual é a relação entre os coeficientes de rigidez? 2. O corpo, que está em repouso no momento inicial, move-se sob a influência de uma força constante conforme mostrado na figura. Determine a magnitude da projeção dessa força se a massa corporal for 3 kg.

Observe que P(V) é dado, e a questão é sobre Ek 1. Em qual das seguintes relações estão as energias cinéticas de três corpos de massas diferentes num momento em que suas velocidades são as mesmas? 2. Com base na projeção do deslocamento em função do tempo para um corpo pesando 2 kg, determine o momento do corpo no tempo de 2 s. (A velocidade inicial é zero.)

1. Qual dos gráficos a seguir representa com mais precisão a relação entre a velocidade projetada e o tempo? (A velocidade inicial é zero.) E De uma dependência para outra De gráfico para gráfico

2. Um corpo de massa 1 kg muda sua projeção de velocidade conforme mostrado na figura. Qual dos seguintes gráficos de projeção de força versus tempo corresponde a este movimento?

Num curso de física existem problemas com várias formas de resolvê-los: 1. Calcular a velocidade média 2. Determinar a relação entre as projeções do movimento dos corpos no momento em que as velocidades dos corpos são iguais. 10 5 0 V,x ; m/s t,s I II III

Método nº 1 10 5 0 V,x ; m/s t,c I II III a x= V 2x – V 1x t 2 – t 1 2 S=v 0 t+em 2 /2

Método nº 2 10 5 0 Vx; m/s t,s I II III Sx= (V 0 x + Vx) t/ 2

Método nº 3 10 5 0 V,x ; m/s t,s I II III S 3 x= 1 *S S 2 x= 2 *S S 1 x: S 2 x: S 3 x= 3: 2: 1 S 1 x= 3 *S

Slide extra Obviamente, o terceiro método de solução não requer cálculos intermediários, portanto é mais rápido e, portanto, mais conveniente. Vamos descobrir em quais tarefas esse uso de espaço é possível.

A análise dos problemas resolvidos mostra que se o produto de X e Y é uma quantidade física, então é igual à área da figura limitada pelo gráfico. P=IU , A=Fs S=vt , V=at, v 0 =0 Δp/t=F , q=It Fa=V ρ g ,…. X Y

1. A figura mostra um gráfico da projeção da velocidade de um determinado corpo em função do tempo. Determine a projeção do deslocamento e a trajetória desse corpo 5 s após o início do movimento. Vx; m/s 3 0 -2 3 t ; s 5 A) 5 m, 13 m B) 13 m, 5 m C) -1 m, 0 m D) 9 m, -4 m E) 15 m, 5 m

0 4 6 8 1 2 3 4 5 6 t, s V, m/s 2. Determine a velocidade média do ciclista durante o tempo t=6s. Todo o caminho durante todo o tempo S x = S trapézio 4,7 m/s

A mudança no momento de um corpo é determinada pela área da figura - um retângulo se a força for constante e um triângulo retângulo se a força depender linearmente do tempo. Ft FttF

3. A maior mudança no momento de um corpo em 2s F t 1 .A 2 .B 3 .C 1 C B A Dica: Ft=S f =  p

4. Usando a dependência do momento do corpo em relação ao tempo, determine a força resultante que atua neste corpo. A) 3H B) 8H C) 12H D) 2H E) 16 armadilha P; kg* m/s 6 2 0 2 t ; cF= Δp/t=(6-2)/2=2

Trabalho mecânico O trabalho mecânico, constante em magnitude e direção da força, é numericamente igual à área do retângulo. O trabalho mecânico da força, cuja magnitude depende do módulo de deslocamento de acordo com uma lei linear, é numericamente igual à área do triângulo retângulo. S 0 F F * s = A = S retangular S 0 F A = ​​​​S retangular

5. A figura mostra a dependência da força que atua sobre o corpo no deslocamento. Determine o trabalho realizado por esta força quando o corpo se move 20 cm. A) 20J. B) 8J. C) 0,8J. D) 40J. E) 0,4J. armadilha cm para metros

Calcule a carga 4 I,A 6 2 U,B 4 8 12 16 20 24 Calcule a resistência Calcule A, Δ Ek para 4 s Calcule Er da mola

6. Sob a influência de uma força variável, um corpo de massa 1 kg muda sua projeção de velocidade ao longo do tempo, conforme mostrado na figura. É difícil determinar o trabalho da resultante desta força em 8 segundos após o início do movimento A) 512J B) 128J C) 112J D) 64J E) 132J A=FS, S= S (t=4c) =32m , F =ma, a =(v -v0)t=2 m/s 2

conclusão Como resultado do nosso trabalho, publicamos um folheto com tarefas gráficas para solução independente e criamos um jogo eletrônico. O trabalho acabou sendo útil na preparação para o Exame Estadual Unificado, bem como para alunos interessados ​​​​em física. No futuro, consideração de outros tipos de problemas e sua solução.

Dependências funcionais de quantidades físicas. Métodos gerais, técnicas e regras de abordagem para resolução de problemas gráficos projeto “TALKING LINE” Escola Secundária MBOU No. 8 Yuzhno-Sakhalinsk Concluído por: Semyonov Vladislav, Ivasiro Alexander, alunos do 9º ano “A”

Fontes de informação. 1. Lukashik V. I., Ivanova E. V. Coleção de problemas de física. Moscou “Iluminismo” 2000 2. Stepanova G.I Coleção de problemas em física M. Iluminismo 1995 3. Rymkevich A.P Coleção de problemas em física Moscou. Educação 1988. 4. www.afportal.ru 5. A.V. Peryshkin, E.M. Gutnik Livro didático de física para 7ª, 8ª e 9ª séries. 6. Materiais GIA 7. S.E. Kamenetsky, V. P. Orekhov Métodos para resolver problemas de física no ensino médio. M: Educação, 1987. 8. V.A. Problemas de Balaz em física e métodos para resolvê-los. "Iluminismo" de Moscou 1983

Os especialistas comprovam a vantagem do ensino técnico sobre o ensino das humanidades, provam que a Rússia necessita urgentemente de engenheiros e especialistas técnicos altamente qualificados, e esta tendência continuará não só em 2014, mas também nos próximos anos. Segundo especialistas em seleção de pessoal, se o país espera crescimento econômico nos próximos anos (e há pré-requisitos para isso), então é muito provável que a base educacional russa não seja capaz de lidar com muitos setores (alta tecnologia, indústria) . “Neste momento, existe uma grande escassez de especialistas no mercado de trabalho na área de engenharia e especialidades técnicas, na área de TI: programadores, desenvolvedores de software. Engenheiros de quase todas as especializações continuam em demanda. Ao mesmo tempo, o mercado está saturado de advogados, economistas, jornalistas, psicólogos”, - diz a Diretora Geral da Agência de Recrutamento de Especialistas Únicos, Ekaterina Krupina. Os analistas, fazendo previsões de longo prazo até 2020, estão confiantes de que a demanda por especialidades técnicas crescerá rapidamente a cada ano. Relevância do problema. Portanto, a qualidade da preparação para o Exame Estadual Unificado de física é importante. Dominar métodos para resolver problemas físicos é crucial. Uma variedade de tarefas físicas são tarefas gráficas. 1) Resolver e analisar problemas gráficos permite compreender e lembrar as leis e fórmulas básicas da física. 2) Nos KIMs do Exame Estadual Unificado de Física estão incluídas tarefas com conteúdo gráfico.

Baixe o trabalho com apresentação.

OBJETIVO DO TRABALHO DO PROJETO:

Estudando os tipos de problemas gráficos, variedades, características e métodos de solução .

OBJETIVOS DO TRABALHO:

1. Estudar literatura sobre tarefas gráficas; 2. Estudo dos materiais do Exame Estadual Unificado (prevalência e nível de complexidade das tarefas gráficas); 3. Estudo de problemas gráficos gerais e específicos de diferentes ramos da física, grau de complexidade. 4. Estudo de métodos de solução; 5. Realização de um inquérito sociológico junto de alunos e professores.

Problema de física

Na literatura metodológica e educacional, as tarefas físicas educacionais são entendidas como exercícios adequadamente selecionados, cujo objetivo principal é estudar fenômenos físicos, formar conceitos, desenvolver o pensamento físico dos alunos e incutir neles a capacidade de aplicar seus conhecimentos na prática.

Ensinar os alunos a resolver problemas físicos é um dos problemas pedagógicos mais difíceis. Acho que esse problema é muito relevante. Meu projeto visa resolver dois problemas:

1. Ajudar a ensinar aos alunos a capacidade de resolver problemas gráficos;

2. Envolver os alunos neste tipo de trabalho.

Resolver e analisar um problema permite compreender e lembrar as leis e fórmulas básicas da física, criar uma ideia de seus traços característicos e limites de aplicação. Os problemas desenvolvem habilidades no uso das leis gerais do mundo material para resolver questões específicas de significado prático e educacional. A capacidade de resolução de problemas é o melhor critério para avaliar a profundidade de estudo do material programático e sua assimilação.

Em estudos para identificar o grau de domínio dos alunos nas operações individuais incluídas na capacidade de resolução de problemas, constatou-se que 30-50% dos alunos das diversas turmas indicam que não possuem tais competências.

A incapacidade de resolver problemas é uma das principais razões para a diminuição do sucesso no estudo da física. Estudos têm demonstrado que a incapacidade de resolver problemas de forma independente é a principal razão para a realização irregular dos trabalhos de casa. Apenas uma pequena parte dos alunos domina a capacidade de resolução de problemas, o que consideram uma das condições mais importantes para a melhoria da qualidade do conhecimento em física.

Este estado da prática de aprendizagem pode ser explicado pela falta de requisitos claros para a formação desta habilidade, pela falta de motivações internas e de interesse cognitivo dos alunos.

A resolução de problemas no processo de ensino de física tem funções multifacetadas:

• Dominar conhecimentos teóricos.
• Dominar os conceitos de fenômenos físicos e quantidades.
• Desenvolvimento mental, pensamento criativo e habilidades especiais dos alunos.
• Apresenta aos alunos as conquistas da ciência e da tecnologia.
• Desenvolve trabalho árduo, perseverança, vontade, caráter e determinação.
• É um meio de monitorar os conhecimentos, competências e habilidades dos alunos.

Tarefa gráfica.

Tarefas gráficas são aquelas tarefas no processo de resolução que utilizam gráficos, diagramas, tabelas, desenhos e diagramas.

Por exemplo:

1. Construa um gráfico da trajetória do movimento uniforme se v = 2 m/s ou do movimento uniformemente acelerado se v 0 = 5 m/s e a = 3 m/s 2 .

2. Quais fenômenos são caracterizados por cada parte do gráfico...

3. Qual corpo se move mais rápido

4. Em que área o corpo se moveu mais rápido?

5. Determine a distância percorrida no gráfico de velocidade.

6. Em que parte do movimento o corpo estava em repouso. A velocidade aumentou e diminuiu.

A resolução de problemas gráficos ajuda a compreender a relação funcional entre grandezas físicas, a desenvolver competências no trabalho com gráficos e a desenvolver a capacidade de trabalhar com escalas.

Com base no papel dos gráficos na resolução de problemas, eles podem ser divididos em dois tipos: - problemas cuja resposta à questão pode ser encontrada a partir da construção de um gráfico; - tarefas para as quais a resposta pode ser encontrada analisando o gráfico.

As tarefas gráficas podem ser combinadas com as experimentais.

Por exemplo:

Usando um copo cheio de água, determine o peso de um bloco de madeira...

Preparação para resolução de problemas gráficos.

Para resolver problemas gráficos, o aluno deve conhecer vários tipos de dependências funcionais, o que significa a intersecção de gráficos com eixos e gráficos entre si. Você precisa entender como as dependências diferem, por exemplo, x = x 0 + vt e x = v 0 t + em 2/2 ou x = x m sinω 0 t e x = - x m sinω 0 t; x =x m sin(ω 0 t+ α) e x =x m cos (ω 0 t+ α), etc.

O plano de preparação deve conter as seguintes seções:

· a) Repita gráficos de funções (linear, quadrática, potência) · b) Descubra qual o papel que os gráficos desempenham na física, que informações eles carregam. · c) Sistematizar problemas físicos de acordo com a importância dos gráficos neles contidos. · d) Estudar métodos e técnicas de análise de gráficos físicos · e) Desenvolver um algoritmo para resolução de problemas gráficos em vários ramos da física · f) Descobrir o padrão geral na resolução de problemas gráficos. Para dominar os métodos de resolução de problemas, é necessário resolver um grande número de diferentes tipos de problemas, observando o princípio - “Do simples ao complexo”. Começando pelos mais simples, domine métodos de solução, compare, generalize diferentes problemas tanto com base em gráficos quanto em tabelas, diagramas, diagramas. Você deve prestar atenção à designação das grandezas ao longo dos eixos coordenados (unidades de grandezas físicas, presença de prefixos submúltiplos ou múltiplos), à escala, ao tipo de dependência funcional (linear, quadrática, logarítmica, trigonométrica, etc.), ao ângulos de inclinação dos gráficos, pontos de intersecção dos gráficos com eixos coordenados ou gráficos entre si. É necessário abordar problemas com “erros” inerentes com especial cuidado, bem como problemas com fotografias de escalas de instrumentos de medição. Neste caso, é necessário determinar corretamente o valor da divisão dos instrumentos de medição e ler com precisão os valores das grandezas medidas. Em problemas que envolvem óptica geométrica, é especialmente importante construir raios com cuidado e precisão e determinar suas interseções com eixos e entre si.

Como resolver problemas gráficos

Dominar o algoritmo geral para resolver problemas físicos

1. Realizar uma análise das condições do problema com a identificação das tarefas do sistema, fenômenos e processos descritos no problema, com a determinação das condições para sua ocorrência

2. Codificar as condições do problema e o processo de solução em vários níveis:

a) uma breve declaração das condições do problema;

b) fazer desenhos e diagramas elétricos;

c) execução de desenhos, gráficos, diagramas vetoriais;

d) escrever uma equação (sistema de equações) ou construir uma conclusão lógica

3. Identificação do método e métodos apropriados para resolver um problema específico

4. Aplicação de um algoritmo geral para resolver problemas de vários tipos

A solução do problema começa com a leitura das condições. Você precisa ter certeza de que todos os termos e conceitos da condição estão claros para os alunos. Termos pouco claros são esclarecidos após a leitura inicial. Ao mesmo tempo, é necessário destacar qual fenômeno, processo ou propriedade dos corpos está sendo descrito no problema. Em seguida, o problema é lido novamente, mas com os dados e as quantidades necessárias destacados. E só depois é feito um breve registro das condições do problema.

Planejamento

A ação de orientação permite uma análise secundária das condições percebidas da tarefa, a partir da qual são identificadas teorias físicas, leis, equações que explicam uma tarefa específica. Em seguida, os métodos para resolver problemas de uma classe são identificados e o método ideal para resolver esse problema é encontrado. O resultado da atividade do aluno é um plano de solução que inclui uma cadeia de ações lógicas. É monitorada a correção das ações para traçar um plano de solução do problema.

Processo de solução

Primeiramente é necessário esclarecer o conteúdo das ações já conhecidas. A ação de orientação nesta fase envolve mais uma vez destacar o método de resolução do problema e esclarecer o tipo de problema a ser resolvido pelo método de estabelecimento das condições. O próximo passo é o planejamento. Está planejado um método para resolver o problema, um aparato (lógico, matemático, experimental) com o qual é possível realizar sua posterior solução.

Análise de Solução

A última etapa do processo de resolução do problema é verificar o resultado obtido. É realizado novamente pelas mesmas ações, mas o conteúdo das ações muda. A ação de orientação é descobrir a essência do que precisa ser verificado. Por exemplo, os resultados da solução podem ser valores de coeficientes, características físicas constantes de mecanismos e máquinas, fenômenos e processos.

O resultado obtido com a resolução do problema deve ser plausível e consistente com o bom senso.

Prevalência de tarefas gráficas em máquinas de simulação computacional em tarefas do Exame Estadual Unificado

O estudo dos materiais do Exame Estadual Unificado por vários anos (2004 - 2013) mostrou que problemas gráficos em várias seções da física são comuns nas tarefas do Exame Estadual Unificado em várias seções da física. Nas tarefas A: em mecânica - 2-3 em física molecular - 1 em termodinâmica - 3 em eletrodinâmica - 3-4 em óptica - 1-2 em física quântica - 1 em física atômica e nuclear - 1 Nas tarefas B: em mecânica - 1 em física molecular - 1 em termodinâmica - 1 em eletrodinâmica - 1 em óptica - 1 em física quântica - 1 em física atômica e nuclear - 1 em tarefas C: em mecânica - em física molecular - em termodinâmica - 1 em eletrodinâmica - 1 em óptica - 1 em física quântica - em física atômica e nuclear - 1

Nossa pesquisa

A. Análise de erros na resolução de problemas gráficos

A análise da resolução de problemas gráficos mostrou que ocorrem os seguintes erros comuns:

Erros na leitura de gráficos;

Erros em operações com grandezas vetoriais;

Erros na análise de gráficos de isoprocessos;

Erros na dependência gráfica de grandezas elétricas;

Erros na construção utilizando as leis da óptica geométrica;

Erros em tarefas gráficas sobre leis quânticas e efeito fotoelétrico;

Erros na aplicação das leis da física atômica.

B. Pesquisa sociológica

Para saber como os alunos da escola conhecem as tarefas gráficas, realizamos uma pesquisa sociológica.

Fizemos aos alunos e professores da nossa escola as seguintes perguntas: perfis:

1. 1. O que é uma tarefa gráfica?

a) problemas com fotos;

b) tarefas contendo diagramas, diagramas;

c) Não sei.

1. 2. Para que servem as tarefas gráficas?

b) desenvolver a capacidade de construção de gráficos;

c) Não sei.

3. Você consegue resolver problemas gráficos?

a) sim; b) não; c) não tenho certeza ;

4. Quer aprender como resolver problemas gráficos?

A) sim ; b) não; c) Acho difícil responder.

Foram entrevistadas 50 pessoas. Como resultado da pesquisa, foram obtidos os seguintes dados:

CONCLUSÕES:

1. Como resultado do trabalho no projeto “Tarefas Gráficas”, estudamos as características das tarefas gráficas.
2. Estudamos as características da metodologia de resolução de problemas gráficos.
3. Analisamos erros típicos.
4. Realizou uma pesquisa sociológica.

Reflexão da atividade:

1. Foi interessante para nós trabalharmos no problema das tarefas gráficas.
2. Aprendemos como conduzir atividades de pesquisa, comparar e contrastar resultados de pesquisas.
3. Descobrimos que o domínio dos métodos de resolução de problemas gráficos é necessário para a compreensão dos fenômenos físicos.
4. Descobrimos que o domínio dos métodos de resolução de problemas gráficos é necessário para a aprovação no Exame Estadual Unificado.

Se um problema de programação linear tiver apenas duas variáveis, ele poderá ser resolvido graficamente.

Considere um problema de programação linear com duas variáveis ​​e:
(1.1) ;
(1.2)
Aqui, existem números arbitrários. A tarefa pode ser encontrar o máximo (max) ou encontrar o mínimo (min). O sistema de restrições pode conter sinais e sinais.

Construção do domínio de soluções viáveis

O método gráfico para resolver o problema (1) é o seguinte.
Primeiro, desenhamos os eixos coordenados e selecionamos a escala. Cada uma das desigualdades do sistema de restrições (1.2) define um semiplano delimitado pela reta correspondente.

Então, a primeira desigualdade
(1.2.1)
define um semiplano delimitado por uma linha reta. De um lado desta linha reta e do outro lado. Na linha muito reta. Para descobrir em que lado a desigualdade (1.2.1) se aplica, escolhemos um ponto arbitrário que não esteja na reta. A seguir, substituímos as coordenadas deste ponto em (1.2.1). Se a desigualdade for válida, então o semiplano contém o ponto selecionado. Se a desigualdade não for válida, então o semiplano está localizado no outro lado (não contém o ponto selecionado). Sombreie o semiplano para o qual a desigualdade (1.2.1) é válida.

Fazemos o mesmo para as restantes desigualdades do sistema (1.2). Dessa forma, obtemos meios-planos sombreados. Os pontos da região de soluções viáveis ​​satisfazem todas as desigualdades (1.2). Portanto, graficamente, a região de soluções viáveis ​​(ADA) é a intersecção de todos os semiplanos construídos. Sombreando o ODR. É um polígono convexo cujas faces pertencem às retas construídas. Além disso, um ODF pode ser uma figura convexa ilimitada, um segmento, um raio ou uma linha reta.

Também pode surgir o caso de os semiplanos não conterem pontos comuns. Então o domínio de soluções viáveis ​​é o conjunto vazio. Este problema não tem soluções.

O método pode ser simplificado. Você não precisa sombrear cada semiplano, mas primeiro construa todas as linhas retas
(2)
A seguir, selecione um ponto arbitrário que não pertença a nenhuma dessas linhas. Substitua as coordenadas deste ponto no sistema de desigualdades (1.2). Se todas as desigualdades forem satisfeitas, então a região de soluções viáveis ​​é limitada pelas retas construídas e inclui o ponto selecionado. Sombreamos a região de soluções viáveis ​​ao longo dos limites das linhas para que inclua o ponto selecionado.

Se pelo menos uma desigualdade não for satisfeita, escolha outro ponto. E assim por diante até que seja encontrado um ponto cujas coordenadas satisfaçam o sistema (1.2).

Encontrando o extremo da função objetivo

Portanto, temos uma região sombreada de soluções viáveis ​​(ADA). É limitado por uma linha tracejada composta por segmentos e raios pertencentes às retas construídas (2). O ODS é sempre um conjunto convexo. Pode ser um conjunto limitado ou não limitado em algumas direções.

Agora podemos procurar o extremo da função objetivo
(1.1) .

Para fazer isso, escolha qualquer número e construa uma linha reta
(3) .
Para conveniência de apresentação adicional, assumimos que esta linha reta passa pelo ODR. Nesta linha a função objetivo é constante e igual a. essa linha reta é chamada de linha de nível de função. Esta linha reta divide o plano em dois semiplanos. Em um meio-plano
.
Em outro meio-plano
.
Ou seja, de um lado da reta (3) a função objetivo aumenta. E quanto mais afastarmos o ponto da reta (3), maior será o valor. Do outro lado da linha reta (3), a função objetivo diminui. E quanto mais movermos o ponto da reta (3) para o outro lado, menor será o valor. Se traçarmos uma linha reta paralela à linha (3), então a nova linha reta também será uma linha de nível da função objetivo, mas com um valor diferente.

Assim, para encontrar o valor máximo da função objetivo, é necessário traçar uma reta paralela à reta (3), o mais distante possível dela no sentido de valores crescentes, e passando por pelo menos um ponto do ODD. Para encontrar o valor mínimo da função objetivo, é necessário traçar uma reta paralela à reta (3) e o mais distante possível dela no sentido dos valores decrescentes, e passando por pelo menos um ponto da ÍMPAR.

Se o ODR for ilimitado, poderá surgir um caso em que essa linha direta não possa ser traçada. Ou seja, não importa como retiremos a reta da linha de nível (3) no sentido de aumento (diminuição), a reta sempre passará pelo ODR. Neste caso pode ser arbitrariamente grande (pequeno). Portanto, não existe valor máximo (mínimo). O problema não tem soluções.

Consideremos o caso em que a reta extrema paralela a uma reta arbitrária da forma (3) passa por um vértice do polígono ODR. A partir do gráfico determinamos as coordenadas deste vértice. Então o valor máximo (mínimo) da função objetivo é determinado pela fórmula:
.
A solução para o problema é
.

Também pode haver um caso em que a linha reta seja paralela a uma das faces do ODR. Então a linha reta passa por dois vértices do polígono ODR. Determinamos as coordenadas desses vértices. Para determinar o valor máximo (mínimo) da função objetivo, você pode usar as coordenadas de qualquer um destes vértices:
.
O problema tem infinitas soluções. A solução é qualquer ponto localizado no segmento entre os pontos e , incluindo os pontos e eles próprios.

Um exemplo de resolução de um problema de programação linear usando o método gráfico

A tarefa

A empresa produz vestidos de dois modelos A e B. São utilizados três tipos de tecido. Para fazer um vestido do modelo A são necessários 2 m de tecido do primeiro tipo, 1 m de tecido do segundo tipo, 2 m de tecido do terceiro tipo. Para fazer um vestido do modelo B são necessários 3 m de tecido do primeiro tipo, 1 m de tecido do segundo tipo, 2 m de tecido do terceiro tipo. Os estoques de tecido do primeiro tipo são de 21 m, do segundo tipo - 10 m, do terceiro tipo - 16 m. O lançamento de um produto do tipo A traz um rendimento de 400 den. unidades, um produto tipo B - 300 den. unidades

Elabore um plano de produção que proporcione o maior rendimento à empresa. Resolva o problema graficamente.

Solução

Sejam as variáveis ​​​​e denotam o número de vestidos produzidos, modelos A e B, respectivamente. Então a quantidade de tecido do primeiro tipo consumido será:
(m)
A quantidade de tecido do segundo tipo consumido será:
(m)
A quantidade de tecido do terceiro tipo consumido será:
(m)
Como o número de vestidos produzidos não pode ser negativo, então
E .
A receita dos vestidos produzidos será:
(unidades den.)

Então o modelo econômico-matemático do problema tem a forma:

Nós resolvemos isso graficamente.
Desenhamos os eixos coordenados e .

Estamos construindo uma linha reta.
No .
No .
Desenhe uma linha reta passando pelos pontos (0; 7) e (10,5; 0).

Estamos construindo uma linha reta.
No .
No .
Desenhe uma linha reta passando pelos pontos (0; 10) e (10; 0).

Estamos construindo uma linha reta.
No .
No .
Desenhe uma linha reta passando pelos pontos (0; 8) e (8; 0).

Sombreamos a área para que o ponto (2; 2) caia na parte sombreada. Obtemos o quadrilátero OABC.

(A1.1) .
No .
No .
Desenhe uma linha reta passando pelos pontos (0; 4) e (3; 0).

Observamos ainda que, como os coeficientes de e da função objetivo são positivos (400 e 300), ela aumenta à medida que aumenta. Traçamos uma reta paralela à reta (A1.1), o mais distante possível dela no sentido crescente, e passando por pelo menos um ponto do quadrilátero OABC. Tal linha passa pelo ponto C. A partir da construção determinamos suas coordenadas.
.

A solução do problema: ;

Responder

.
Ou seja, para obter o maior rendimento é necessário confeccionar 8 vestidos do modelo A. O rendimento será de 3200 den. unidades

Exemplo 2

A tarefa

Resolva graficamente um problema de programação linear.

Solução

Nós resolvemos isso graficamente.
Desenhamos os eixos coordenados e .

Estamos construindo uma linha reta.
No .
No .
Desenhe uma linha reta passando pelos pontos (0; 6) e (6; 0).

Estamos construindo uma linha reta.
Daqui.
No .
No .
Desenhe uma linha reta passando pelos pontos (3; 0) e (7; 2).

Estamos construindo uma linha reta.
Construímos uma linha reta (eixo das abcissas).

A região de soluções admissíveis (ADA) é limitada pelas retas construídas. Para saber de que lado, notamos que o ponto pertence ao ODR, pois satisfaz o sistema de desigualdades:

Sombreamos a área ao longo dos limites das linhas construídas para que o ponto (4; 1) caia na parte sombreada. Obtemos o triângulo ABC.

Construímos uma linha arbitrária do nível da função objetivo, por exemplo,
.
No .
No .
Desenhe uma linha reta nivelada através dos pontos (0; 6) e (4; 0).
Como a função objetivo aumenta com o aumento de e, traçamos uma linha reta paralela à linha de nível e o mais distante possível dela no sentido crescente, e passando por pelo menos um ponto do triângulo ABC. Tal linha passa pelo ponto C. A partir da construção determinamos suas coordenadas.
.

A solução do problema: ;

Responder

Exemplo de nenhuma solução

A tarefa

Resolva graficamente um problema de programação linear. Encontre o valor máximo e mínimo da função objetivo.

Solução

Resolvemos o problema graficamente.
Desenhamos os eixos coordenados e .

Estamos construindo uma linha reta.
No .
No .
Desenhe uma linha reta passando pelos pontos (0; 8) e (2,667; 0).

Estamos construindo uma linha reta.
No .
No .
Desenhe uma linha reta passando pelos pontos (0; 3) e (6; 0).

Estamos construindo uma linha reta.
No .
No .
Desenhe uma linha reta passando pelos pontos (3; 0) e (6; 3).

As linhas retas são os eixos coordenados.

A região de soluções admissíveis (ADA) é limitada pelas retas construídas e eixos coordenados. Para saber de que lado, notamos que o ponto pertence ao ODR, pois satisfaz o sistema de desigualdades:

Sombreamos a área para que o ponto (3; 3) caia na parte sombreada. Obtemos uma área ilimitada delimitada pela linha tracejada ABCDE.

Construímos uma linha arbitrária do nível da função objetivo, por exemplo,
(A3.1) .
No .
No .
Desenhe uma linha reta passando pelos pontos (0; 7) e (7; 0).
Como os coeficientes de e são positivos, aumenta com o aumento de e.

Para encontrar o máximo, é necessário traçar uma linha paralela, que esteja o mais distante possível no sentido crescente e passe por pelo menos um ponto da região ABCDE. No entanto, como a área é ilimitada no lado de grandes valores de e, tal linha reta não pode ser traçada. Não importa a linha que traçamos, sempre haverá pontos na região que estão mais distantes na direção crescente e . Portanto não há máximo. você pode torná-lo tão grande quanto quiser.

Procuramos o mínimo. Traçamos uma reta paralela à reta (A3.1) e o mais distante possível dela no sentido decrescente, e passando por pelo menos um ponto da região ABCDE. Tal linha passa pelo ponto C. A partir da construção determinamos suas coordenadas.
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Valor mínimo da função objetivo:

Responder

Não há valor máximo.
Valor mínimo
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Muitas vezes, uma representação gráfica de um processo físico torna-o mais visual e, assim, facilita a compreensão do fenómeno em consideração. Às vezes, permitindo simplificar significativamente os cálculos, os gráficos são amplamente utilizados na prática para resolver diversos problemas. A capacidade de construí-los e lê-los é obrigatória para muitos especialistas hoje.

Consideramos as seguintes tarefas como tarefas gráficas:

• para construção, onde desenhos e desenhos são muito úteis;
• esquemas resolvidos usando vetores, gráficos, diagramas, diagramas e nomogramas.

1) A bola é lançada verticalmente para cima a partir do solo com velocidade inicial vÓ. Trace um gráfico da velocidade da bola em função do tempo, assumindo que os impactos no solo são perfeitamente elásticos. Despreze a resistência do ar. [solução]

2) Um passageiro que estava atrasado para o trem percebeu que o penúltimo vagão passou por ele t1 = 10s, e o último - para t2 = 8s. Supondo que o movimento do trem seja uniformemente acelerado, determine o tempo de atraso. [solução]

3) Em uma sala alta H uma mola leve com rigidez é fixada ao teto em uma extremidade k, tendo um comprimento no estado não deformado eu o (eu o< H ). Um bloco de altura é colocado no chão sob a mola x com área base S, feito de material com densidade ρ . Construa um gráfico da pressão do bloco no chão versus a altura do bloco. [solução]

4) O bug rasteja ao longo do eixo Boi. Determine a velocidade média de seu movimento na área entre os pontos com coordenadas x 1 = 1,0m E x 2 = 5,0 m, se for conhecido que o produto da velocidade do inseto e sua coordenada permanece constante o tempo todo, igual a c = 500 cm 2 /s. [solução]

5) Para um bloco de massa 10kg uma força é aplicada a uma superfície horizontal. Considerando que o coeficiente de atrito é igual a 0,7 , definir:

• força de atrito para o caso se F = 50N e direcionado horizontalmente.
• força de atrito para o caso se F = 80N e direcionado horizontalmente.
• desenhe um gráfico da aceleração do bloco versus a força aplicada horizontalmente.
• Qual é a força mínima necessária para puxar a corda e mover o bloco uniformemente? [solução]

6) Existem dois tubos conectados ao misturador. Cada tubo possui uma torneira que pode ser usada para regular o fluxo de água através do tubo, alterando-o de zero para o valor máximo Jo = 1 l/s. A água flui em tubulações em temperaturas t1 = 10°C E t2 = 50°C. Trace um gráfico do fluxo máximo de água que sai do misturador versus a temperatura dessa água. Despreze as perdas de calor. [solução]

7) Tarde da noite, um jovem alto h caminha ao longo da beira de uma calçada reta horizontal com velocidade constante v. À distância eu Há um poste de luz na beira da calçada. A lanterna acesa é fixada em altura H da superfície da terra. Construa um gráfico da velocidade de movimento da sombra da cabeça de uma pessoa dependendo da coordenada x. [solução]