Siemionow Vlad, Ivasiro Alexander, uczniowie 9. klasy

Praca i prezentacja dotycząca rozwiązywania problemów graficznych. Powstała gra elektroniczna oraz broszura z zadaniami graficznymi

Pobierać:

Zapowiedź:

Aby skorzystać z podglądu prezentacji utwórz konto Google i zaloguj się na nie: https://accounts.google.com

Podpisy slajdów:

praca magisterska Rozwiązywanie problemów jest jedną z metod zrozumienia powiązań praw natury. Rozwiązywanie problemów jest jednym z ważnych sposobów powtarzania, utrwalania i samodzielnego sprawdzania wiedzy. Większość problemów fizycznych rozwiązujemy analitycznie, ale w fizyce zdarzają się problemy, które wymagają rozwiązania graficznego lub w których przedstawiono wykres. Zadania te wymagają wykorzystania umiejętności czytania i analizowania wykresu.

Trafność tematu. 1) Rozwiązywanie i analizowanie problemów graficznych pozwala zrozumieć i zapamiętać podstawowe prawa i wzory fizyczne. 2) W KIM do Jednolitego Egzaminu Państwowego z fizyki i matematyki uwzględniane są zadania o treści graficznej

Cel projektu: 1. Opublikowanie podręcznika do samodzielnej nauki rozwiązywania problemów graficznych. 2. Stwórz grę elektroniczną. Zadania: 1. Wybierz zadania graficzne o różnej tematyce. 2. Znajdź ogólny wzór rozwiązywania problemów graficznych.

Odczytywanie wykresu Wyznaczanie procesów termicznych Wyznaczanie okresu, amplitudy,... Wyznaczanie Ek, Er

W toku fizyki 7-9 można wyróżnić prawa wyrażające się bezpośrednią zależnością: X(t), m (ρ), I (q), F kontrola(Δ x), F tr(N), F ( m), P ( v) , p (F) p (h) , F а(V t) …, zależność kwadratowa: E к =mv 2 /2 E р =CU 2 /2 E р =kx 2 /2

1. Porównaj pojemność kondensatorów. 2. Który z punktów wskazanych poniżej na wykresie zależności pędu ciała od jego masy odpowiada prędkości minimalnej? Rozważmy problemy 3 1 2

1.Jaka jest zależność pomiędzy współczynnikami sztywności? 2. Ciało w chwili początkowej będące w spoczynku porusza się pod wpływem stałej siły, jak pokazano na rysunku. Określ wielkość rzutu tej siły, jeśli masa ciała wynosi 3 kg.

Proszę zwrócić uwagę, że dane jest P(V), a pytanie dotyczy Ek 1. W której z poniższych zależności występują energie kinetyczne trzech ciał o różnych masach w czasie, gdy ich prędkości są takie same? 2. Na podstawie rzutu przemieszczenia w funkcji czasu dla ciała o masie 2 kg wyznacz pęd ciała w czasie 2 s. (Prędkość początkowa wynosi zero.)

1. Który z poniższych wykresów najdokładniej przedstawia zależność między przewidywaną prędkością a czasem? (Prędkość początkowa wynosi zero.) E Od jednej zależności do drugiej. Z wykresu na wykres

2. Ciało o masie 1 kg zmienia swój rzut prędkości, jak pokazano na rysunku. Który z poniższych wykresów projekcji siły w funkcji czasu odpowiada temu ruchowi?

Na kursie fizyki występują problemy z kilkoma sposobami ich rozwiązania: 1. Oblicz średnią prędkość 2. Określ zależność pomiędzy rzutami ruchu ciał w chwili, gdy prędkości ciał są takie same. 10 5 0 V,x ; m/s t,s I II III

Metoda nr 1 10 5 0 V,x ; m/s t,c I II III a x= V 2x – V 1x t 2 – t 1 2 S=v 0 t+at 2 /2

Metoda nr 2 10 5 0 Vx; m/s t,s I II III Sx= (V 0 x + Vx) t/ 2

Metoda nr 3 10 5 0 V,x ; m/s t,s I II III S 3 x= 1 *S S 2 x= 2 *S S 1 x: S 2 x: S 3 x= 3: 2: 1 S 1 x= 3 *S

Dodatkowy slajd Oczywiście trzeci sposób rozwiązania nie wymaga obliczeń pośrednich, dlatego jest szybszy, a przez to wygodniejszy. Przekonajmy się, w jakich zadaniach możliwe jest takie wykorzystanie przestrzeni.

Analiza rozwiązanych problemów pokazuje, że jeśli iloczyn X i Y jest wielkością fizyczną, to jest równy polu figury ograniczonej wykresem. P=IU, A=Fs S=vt, V=at, v 0 =0 Δp/t=F, q=It Fa=V ρ g,…. X Y

1. Rysunek przedstawia wykres rzutu prędkości pewnego ciała w funkcji czasu. Wyznacz rzut przemieszczenia oraz tor tego ciała po 5 s od rozpoczęcia ruchu. Vx ; m/s 3 0 -2 3 t ; s 5 A) 5 m, 13 m B) 13 m, 5 m C) -1 m, 0 m D) 9 m, -4 m E) 15 m, 5 m

0 4 6 8 1 2 3 4 5 6 t, s V, m/s 2. Wyznacz średnią prędkość rowerzysty w czasie t=6s. Przez cały czas S x = S trapez 4,7 m/s

O zmianie pędu ciała decyduje powierzchnia figury - prostokąt, jeśli siła jest stała, i trójkąt prostokątny, jeśli siła zależy liniowo od czasu. F t F t t F

3. Największa zmiana pędu ciała w czasie 2s F t 1 .A 2 .B 3 .C 1 C B A Wskazówka: Ft=S f =  p

4.Wykorzystując zależność pędu ciała od czasu, wyznacz siłę wypadkową działającą na to ciało. A) 3H B) 8H C) 12H D) 2H E) 16 pułapka P; kg* m/s 6 2 0 2 t ; do F= Δ p/t=(6-2)/2=2

Praca mechaniczna Praca mechaniczna, stała pod względem wielkości i kierunku siły, jest liczbowo równa powierzchni prostokąta. Praca mechaniczna siły, której wielkość zależy od modułu przemieszczenia zgodnie z prawem liniowym, jest liczbowo równa powierzchni trójkąta prostokątnego. S 0 F F * s = A = S prostokątny S 0 F A = ​​S prostokątny

5. Rysunek przedstawia zależność siły działającej na ciało od przemieszczenia. Oblicz pracę wykonaną przez tę siłę, gdy ciało przesunie się o 20 cm. A) 20J. B) 8J. C) 0,8 J. D) 40J. E) 0,4 J. zapisz cm na metry

Oblicz ładunek 4 I,A 6 2 U,B 4 8 12 16 20 24 Oblicz opór Oblicz A, Δ Ek dla 4 s Oblicz Er sprężyny

6. Ciało o masie 1 kg pod wpływem zmiennej siły zmienia w czasie swój rzut prędkości, jak pokazano na rysunku. Trudno określić pracę wypadkowej tej siły w ciągu 8 sekund od rozpoczęcia ruchu A) 512J B) 128J C) 112J D) 64J E) 132J A=FS , S= S (t=4c) =32m , F =ma, a =(v -v0)t=2 m/s 2

zakończenie W wyniku naszej pracy opublikowaliśmy broszurę z zadaniami graficznymi do samodzielnego rozwiązania oraz stworzyliśmy grę elektroniczną. Praca okazała się przydatna w przygotowaniu do egzaminu Unified State Exam, a także dla uczniów zainteresowanych fizyką. W przyszłości rozważenie innych rodzajów problemów i ich rozwiązania.

Zależności funkcyjne wielkości fizycznych. Ogólne metody, techniki i zasady podejścia do rozwiązywania problemów graficznych projekt „TALKING LINE” MBOU Liceum nr 8 Jużno-Sachalińsk Wypełnili: Siemionow Władysław, Iwasiro Aleksander, uczniowie 9. klasy „A”

Źródła informacji. 1. Lukashik V.I., Ivanova E.V. Zbiór problemów fizyki. Moskwa „Oświecenie” 2000 2. Stepanova G.I Zbiór problemów fizyki M. Oświecenie 1995 3. Rymkevich A.P. Zbiór problemów fizyki Moskwa. Edukacja 1988. 4. www.afportal.ru 5. A.V. Peryshkin, E.M. Gutnik Podręcznik fizyki dla klas 7, 8, 9. 6. Materiały GIA 7. S.E. Kamenetsky, V.P. Orekhov Metody rozwiązywania problemów z fizyki w szkole średniej. M: Edukacja, 1987. 8. V.A. Balazs Problemy fizyczne i metody ich rozwiązywania. Moskiewskie „oświecenie” 1983

Eksperci udowadniają przewagę szkolnictwa technicznego nad humanistycznym, udowadniają, że Rosja pilnie potrzebuje wysoko wykwalifikowanych inżynierów i specjalistów technicznych i tendencja ta utrzyma się nie tylko w 2014 roku, ale także w kolejnych latach. Zdaniem specjalistów doboru kadr, jeśli kraj spodziewa się wzrostu gospodarczego w nadchodzących latach (a są ku temu przesłanki), to jest bardzo prawdopodobne, że rosyjska baza edukacyjna nie będzie w stanie poradzić sobie z wieloma sektorami (wysoka technologia, przemysł) . "W tej chwili na rynku pracy dotkliwie brakuje specjalistów w zakresie specjalności inżynieryjno-technicznych, w zakresie informatyki: programistów, twórców oprogramowania. W dalszym ciągu poszukiwani są inżynierowie niemal wszystkich specjalności. Jednocześnie rynek jest przesycony prawnikami, ekonomistami, dziennikarzami, psychologami” – mówi Dyrektor Generalna Agencji Rekrutacyjnej dla Wyjątkowych Specjalistów Ekaterina Krupina. Analitycy, prognozując długoterminowe do 2020 roku, są przekonani, że popyt na specjalności techniczne będzie z roku na rok dynamicznie rósł. Istotność problemu. Dlatego ważna jest jakość przygotowania do Jednolitego Egzaminu Państwowego z fizyki. Opanowanie metod rozwiązywania problemów fizycznych jest kluczowe. Różnorodne zadania fizyczne to zadania graficzne. 1) Rozwiązywanie i analizowanie problemów graficznych pozwala zrozumieć i zapamiętać podstawowe prawa i wzory fizyczne. 2) W KIM-ach do Jednolitego Egzaminu Państwowego z fizyki uwzględniane są zadania o treści graficznej.

Pobierz pracę z prezentacją.

CEL PRAC PROJEKTOWYCH:

Badanie rodzajów problemów graficznych, ich odmian, cech i metod rozwiązywania .

CELE PRACY:

1. Studiowanie literatury dotyczącej zadań graficznych; 2. Przestudiowanie materiałów z egzaminu Unified State Exam (występowanie i stopień skomplikowania zadań graficznych); 3. Badanie ogólnych i szczegółowych problemów graficznych z różnych działów fizyki, stopień złożoności. 4. Badanie metod rozwiązań; 5. Przeprowadzenie badania socjologicznego wśród uczniów i nauczycieli szkoły.

Problem z fizyką

W literaturze metodologicznej i pedagogicznej edukacyjne zadania fizyczne rozumiane są jako odpowiednio dobrane ćwiczenia, których głównym celem jest badanie zjawisk fizycznych, kształtowanie pojęć, rozwijanie myślenia fizycznego uczniów i wpajanie im umiejętności stosowania zdobytej wiedzy w praktyce.

Nauczanie uczniów rozwiązywania problemów fizycznych jest jednym z najtrudniejszych problemów pedagogicznych. Myślę, że ten problem jest bardzo istotny. Mój projekt ma na celu rozwiązanie dwóch problemów:

1. Pomoc w nauczaniu uczniów umiejętności rozwiązywania problemów graficznych;

2. Angażuj uczniów w tego typu pracę.

Rozwiązanie i analiza problemu pozwala zrozumieć i zapamiętać podstawowe prawa i wzory fizyki, stworzyć wyobrażenie o ich charakterystycznych cechach i granicach zastosowania. Zadania rozwijają umiejętność wykorzystania ogólnych praw świata materialnego do rozwiązywania konkretnych problemów o znaczeniu praktycznym i edukacyjnym. Umiejętność rozwiązywania problemów jest najlepszym kryterium oceny głębokości przestudiowania materiału programowego i jego przyswojenia.

W badaniach mających na celu określenie stopnia opanowania przez uczniów poszczególnych czynności wchodzących w skład umiejętności rozwiązywania problemów stwierdzono, że 30-50% uczniów w poszczególnych klasach wskazuje na brak takich umiejętności.

Nieumiejętność rozwiązywania problemów jest jedną z głównych przyczyn mniejszych sukcesów w studiowaniu fizyki. Badania wykazały, że główną przyczyną nieregularnego odrabiania zadań domowych jest nieumiejętność samodzielnego rozwiązywania problemów. Jedynie niewielka część uczniów opanowuje umiejętność rozwiązywania problemów, co uważa za jeden z najważniejszych warunków podnoszenia jakości wiedzy z fizyki.

Ten stan praktyki uczenia się można wytłumaczyć brakiem jasnych wymagań dotyczących kształtowania tej umiejętności, brakiem wewnętrznych motywacji i zainteresowań poznawczych wśród uczniów.

Rozwiązywanie problemów w procesie nauczania fizyki pełni wieloaspektowe funkcje:

• Opanowanie wiedzy teoretycznej.
• Opanowanie pojęć zjawisk i wielkości fizycznych.
• Rozwój umysłowy, twórcze myślenie i szczególne zdolności uczniów.
• Zapoznaje studentów z osiągnięciami nauki i techniki.
• Rozwija ciężką pracę, wytrwałość, wolę, charakter i determinację.
• Jest to sposób monitorowania wiedzy, umiejętności i zdolności uczniów.

Zadanie graficzne.

Zadania graficzne to zadania w procesie rozwiązywania, które wykresy, diagramy, tabele, rysunki i diagramy są używane.

Na przykład:

1. Skonstruuj wykres toru ruchu jednostajnego, jeśli v = 2 m/s lub ruchu jednostajnie przyspieszonego, jeśli v 0 = 5 m/s i a = 3 m/s 2 .

2. Jakimi zjawiskami charakteryzują się poszczególne części wykresu...

3. Które ciało porusza się szybciej

4. W jakim obszarze ciało poruszało się szybciej?

5. Oblicz przebytą odległość na podstawie wykresu prędkości.

6. W jakiej części ruchu ciało znajdowało się w spoczynku. Prędkość wzrastała i malała.

Rozwiązywanie problemów graficznych pomaga zrozumieć zależności funkcjonalne między wielkościami fizycznymi, rozwinąć umiejętności pracy z wykresami i rozwinąć umiejętność pracy ze skalami.

Ze względu na rolę grafów w rozwiązywaniu problemów można je podzielić na dwa typy: - problemy, na które odpowiedź można znaleźć w wyniku zbudowania grafu; - zadania, na które odpowiedź można znaleźć analizując wykres.

Zadania graficzne można łączyć z eksperymentalnymi.

Na przykład:

Za pomocą zlewki wypełnionej wodą określ masę drewnianego klocka...

Przygotowanie do rozwiązywania problemów graficznych.

Aby rozwiązać problemy graficzne, student musi znać różne typy zależności funkcyjnych, czyli przecięcia wykresów z osiami i wykresów między sobą. Musisz zrozumieć, czym różnią się zależności, na przykład x = x 0 + vt i x = v 0 t + przy 2 /2 lub x = x m sinω 0 t i x = - x m sinω 0 t; x =x m sin(ω 0 t+ α) i x =x m cos (ω 0 t+ α) itd.

Plan przygotowań powinien zawierać następujące sekcje:

· a) Powtórz wykresy funkcji (liniowej, kwadratowej, potęgowej) · b) Dowiedz się, jaką rolę pełnią wykresy w fizyce, jakie informacje niosą. · c) Usystematyzować problemy fizyczne według znaczenia zawartych w nich wykresów. · d) Badanie metod i technik analizy grafów fizycznych · e) Opracowanie algorytmu rozwiązywania problemów graficznych z różnych działów fizyki · f) Znalezienie ogólnego wzorca rozwiązywania problemów graficznych. Aby opanować metody rozwiązywania problemów, konieczne jest rozwiązanie dużej liczby różnych typów problemów, przestrzegając zasady „Od prostego do złożonego”. Zaczynając od prostych, opanowując metody rozwiązywania, porównuj, uogólniaj różne problemy zarówno na podstawie wykresów, jak i tabel, diagramów, diagramów. Należy zwrócić uwagę na oznaczenie wielkości wzdłuż osi współrzędnych (jednostki wielkości fizycznych, obecność przedwielokrotnych lub wielokrotnych przedrostków), skalę, rodzaj zależności funkcyjnej (liniowa, kwadratowa, logarytmiczna, trygonometryczna itp.), kąty nachylenia wykresów, punkty przecięcia wykresów z osiami współrzędnych lub wykresami między sobą. Należy szczególnie ostrożnie podchodzić do problemów z nieodłącznymi „błędami”, a także do problemów ze zdjęciami skal przyrządów pomiarowych. W takim przypadku konieczne jest prawidłowe określenie wartości podziału przyrządów pomiarowych i dokładne odczytanie wartości mierzonych wielkości. W zagadnieniach z zakresu optyki geometrycznej szczególnie ważne jest staranne i dokładne konstruowanie promieni oraz wyznaczanie ich przecięć z osiami i między sobą.

Jak rozwiązać problemy graficzne

Opanowanie ogólnego algorytmu rozwiązywania problemów fizycznych

1. Przeprowadzenie analizy warunków problemowych wraz z identyfikacją zadań systemowych, zjawisk i procesów opisanych w problemie, wraz z określeniem warunków ich wystąpienia

2. Kodowanie warunków problemu i procesu rozwiązania na różnych poziomach:

a) krótkie przedstawienie warunków problemowych;

b) wykonanie rysunków i schematów elektrycznych;

c) wykonanie rysunków, wykresów, diagramów wektorowych;

d) zapisanie równania (układu równań) lub skonstruowanie logicznego wniosku

3. Identyfikacja właściwej metody i metod rozwiązania konkretnego problemu

4. Zastosowanie algorytmu ogólnego do rozwiązywania problemów różnego typu

Rozwiązanie problemu rozpoczyna się od przeczytania warunków. Musisz upewnić się, że wszystkie terminy i koncepcje zawarte w warunku są jasne dla uczniów. Niejasne pojęcia zostaną wyjaśnione po wstępnej lekturze. Jednocześnie należy podkreślić, jakie zjawisko, proces lub właściwość ciał jest opisywane w zadaniu. Następnie zadanie jest odczytywane ponownie, ale z zaznaczonymi danymi i wymaganymi ilościami. I dopiero potem przeprowadza się krótki zapis warunków problemu.

Planowanie

Działanie orientacyjne pozwala na wtórną analizę postrzeganych warunków zadania, w wyniku czego identyfikowane są teorie fizyczne, prawa, równania wyjaśniające konkretne zadanie. Następnie identyfikowane są metody rozwiązywania problemów jednej klasy i znajduje się optymalną metodę rozwiązania tego problemu. Efektem działań uczniów jest plan rozwiązania, który obejmuje łańcuch logicznych działań. Monitorowana jest prawidłowość działań zmierzających do opracowania planu rozwiązania problemu.

Proces rozwiązania

W pierwszej kolejności konieczne jest wyjaśnienie treści znanych już działań. Działanie orientacyjne na tym etapie polega na ponownym podkreśleniu sposobu rozwiązania problemu i wyjaśnieniu rodzaju problemu, który ma zostać rozwiązany metodą ustalenia warunków. Następnym krokiem jest planowanie. Planuje się metodę rozwiązania problemu, aparaturę (logiczną, matematyczną, eksperymentalną), za pomocą której można przeprowadzić jego dalsze rozwiązanie.

Analiza rozwiązania

Ostatnim etapem procesu rozwiązywania problemu jest sprawdzenie uzyskanego wyniku. Odbywa się to ponownie poprzez te same działania, ale zmienia się treść działań. Działaniem orientacyjnym jest poznanie istoty tego, co należy sprawdzić. Przykładowo wynikami rozwiązania mogą być wartości współczynników, stałe fizyczne charakterystyki mechanizmów i maszyn, zjawisk i procesów.

Wynik uzyskany w wyniku rozwiązania problemu musi być wiarygodny i zgodny ze zdrowym rozsądkiem.

Występowanie zadań graficznych w komputerowych maszynach symulacyjnych w zadaniach Unified State Examination

Badania materiałów do egzaminu Unified State Exam prowadzone przez wiele lat (2004 - 2013) wykazały, że problemy graficzne w różnych sekcjach fizyki są powszechne w zadaniach Unified State Exam w różnych sekcjach fizyki. W zadaniach A: z mechaniki - 2-3 z fizyki molekularnej - 1 z termodynamiki - 3 z elektrodynamiki - 3-4 z optyki - 1-2 z fizyki kwantowej - 1 z fizyki atomowej i jądrowej - 1 W zadaniach B: z mechaniki - 1 z fizyki molekularnej - 1 z termodynamiki - 1 z elektrodynamiki - 1 z optyki - 1 z fizyki kwantowej - 1 z fizyki atomowej i jądrowej - 1 Z zadań C: z mechaniki - z fizyki molekularnej - z termodynamiki - 1 z elektrodynamiki - 1 w optyka - 1 w fizyce kwantowej - w fizyce atomowej i jądrowej - 1

Nasze badania

A. Analiza błędów przy rozwiązywaniu problemów graficznych

Analiza rozwiązywania problemów graficznych wykazała, że ​​często występują następujące błędy:

Błędy w czytaniu wykresów;

Błędy w operacjach na wielkościach wektorowych;

Błędy podczas analizy wykresów izoprocesów;

Błędy w graficznej zależności wielkości elektrycznych;

Błędy przy konstruowaniu z wykorzystaniem praw optyki geometrycznej;

Błędy w zadaniach graficznych z zakresu praw kwantowych i efektu fotoelektrycznego;

Błędy w stosowaniu praw fizyki atomowej.

B. Badanie socjologiczne

Aby dowiedzieć się, jaka jest świadomość uczniów w zakresie zadań graficznych, przeprowadziliśmy badanie socjologiczne.

Zadaliśmy uczniom i nauczycielom naszej szkoły następujące pytania: profile:

1. 1. Co to jest zadanie graficzne?

a) problemy ze zdjęciami;

b) zadania zawierające diagramy, diagramy;

c) Nie wiem.

1. 2. Do czego służą zadania graficzne?

b) rozwinięcie umiejętności budowania wykresów;

c) Nie wiem.

3. Czy potrafisz rozwiązać problemy graficzne?

a) tak; b) nie; c) nie jestem pewien ;

4. Chcesz nauczyć się rozwiązywać problemy graficzne?

Tak ; b) nie; c) Trudno mi odpowiedzieć.

Przesłuchano 50 osób. W wyniku przeprowadzonej ankiety uzyskano następujące dane:

WNIOSKI:

1. W wyniku pracy nad projektem „Zadania graficzne” zbadaliśmy cechy zadań graficznych.
2. Przebadaliśmy cechy metodologii rozwiązywania problemów graficznych.
3. Przeanalizowaliśmy typowe błędy.
4. Przeprowadziłem ankietę socjologiczną.

Odbicie aktywności:

1. Ciekawa była dla nas praca nad problemem zadań graficznych.
2. Dowiedzieliśmy się, jak prowadzić działalność badawczą, porównywać i kontrastować wyniki badań.
3. Odkryliśmy, że do zrozumienia zjawisk fizycznych konieczne jest opanowanie metod rozwiązywania problemów graficznych.
4. Dowiedzieliśmy się, że aby pomyślnie zdać egzamin Unified State Exam, konieczne jest opanowanie metod rozwiązywania problemów graficznych.

Jeśli problem programowania liniowego ma tylko dwie zmienne, można go rozwiązać graficznie.

Rozważmy problem programowania liniowego z dwiema zmiennymi i:
(1.1) ;
(1.2)
Tutaj są dowolne liczby. Zadanie może polegać na znalezieniu maksimum (max) lub znalezieniu minimum (min). System ograniczeń może zawierać zarówno znaki, jak i znaki.

Budowa dziedziny rozwiązań dopuszczalnych

Graficzna metoda rozwiązania problemu (1) jest następująca.
Najpierw rysujemy osie współrzędnych i wybieramy skalę. Każda z nierówności układu więzów (1.2) definiuje półpłaszczyznę ograniczoną odpowiednią linią prostą.

Zatem pierwsza nierówność
(1.2.1)
definiuje półpłaszczyznę ograniczoną linią prostą. Po jednej stronie tej prostej i po drugiej stronie. Na bardzo prostej linii. Aby dowiedzieć się, po której stronie zachodzi nierówność (1.2.1), wybieramy dowolny punkt, który nie leży na prostej. Następnie podstawiamy współrzędne tego punktu do (1.2.1). Jeżeli nierówność jest zachowana, to półpłaszczyzna zawiera wybrany punkt. Jeżeli nierówność nie jest spełniona, to półpłaszczyzna znajduje się po drugiej stronie (nie zawiera wybranego punktu). Zacień półpłaszczyznę, dla której zachodzi nierówność (1.2.1).

To samo robimy dla pozostałych nierówności układu (1.2). Otrzymujemy w ten sposób zacienione półpłaszczyzny. Punkty obszaru rozwiązań dopuszczalnych spełniają wszystkie nierówności (1.2). Dlatego graficznie obszar rozwiązań wykonalnych (ADA) jest przecięciem wszystkich skonstruowanych półpłaszczyzn. Cieniowanie ODR. Jest to wielokąt wypukły, którego ściany należą do skonstruowanych linii prostych. Ponadto ODF może być nieograniczoną figurą wypukłą, odcinkiem, półprostą lub linią prostą.

Może się również zdarzyć, że półpłaszczyzny nie zawierają punktów wspólnych. Wtedy dziedziną rozwiązań dopuszczalnych jest zbiór pusty. Ten problem nie ma rozwiązań.

Metodę można uprościć. Nie musisz zacieniać każdej półpłaszczyzny, ale najpierw skonstruuj wszystkie linie proste
(2)
Następnie wybierz dowolny punkt, który nie należy do żadnej z tych linii. Podstaw współrzędne tego punktu do układu nierówności (1.2). Jeżeli wszystkie nierówności są spełnione, wówczas obszar dopuszczalnych rozwiązań jest ograniczony skonstruowanymi liniami prostymi i obejmuje wybrany punkt. Zacieniamy obszar możliwych rozwiązań wzdłuż granic linii tak, aby obejmował wybrany punkt.

Jeśli przynajmniej jedna nierówność nie jest spełniona, należy wybrać inny punkt. I tak dalej, aż zostanie znaleziony punkt, którego współrzędne spełniają układ (1.2).

Znalezienie ekstremum funkcji celu

Mamy więc zacieniony obszar rozwiązań wykonalnych (ADA). Ogranicza ją linia łamana złożona z odcinków i półprostych należących do skonstruowanych linii prostych (2). ODS jest zawsze zbiorem wypukłym. Może to być zbiór ograniczony lub nieograniczony w niektórych kierunkach.

Teraz możemy poszukać ekstremum funkcji celu
(1.1) .

Aby to zrobić, wybierz dowolną liczbę i zbuduj linię prostą
(3) .
Dla wygody dalszej prezentacji zakładamy, że ta prosta przechodzi przez ODR. Na tej prostej funkcja celu jest stała i równa . taka linia prosta nazywana jest linią poziomu funkcji. Ta prosta dzieli płaszczyznę na dwie półpłaszczyzny. Na jednej półpłaszczyźnie
.
Na innym półsamolocie
.
Oznacza to, że po jednej stronie prostej (3) funkcja celu rośnie. A im dalej odsuniemy punkt od prostej (3), tym większa będzie wartość. Po drugiej stronie prostej (3) funkcja celu maleje. A im dalej przesuniemy punkt od prostej (3) na drugą stronę, tym mniejsza będzie wartość. Jeśli narysujemy linię prostą równoległą do prostej (3), to nowa linia prosta będzie również linią poziomą funkcji celu, ale o innej wartości.

Zatem, aby znaleźć maksymalną wartość funkcji celu, należy poprowadzić prostą równoległą do prostej (3), jak najdalej od niej w kierunku rosnących wartości i przechodzącą przez co najmniej jeden punkt z ODD. Aby znaleźć minimalną wartość funkcji celu, należy poprowadzić prostą równoległą do prostej (3) i jak najdalej od niej w kierunku malejących wartości i przechodzącą przez co najmniej jeden punkt nieparzystej funkcji.

Jeżeli ODR jest nieograniczony, może zaistnieć sytuacja, w której nie da się wyznaczyć takiej bezpośredniej linii. Oznacza to, że niezależnie od tego, jak odejmiemy linię prostą od linii poziomu (3) w kierunku rosnącym (malejącym), linia prosta zawsze przejdzie przez ODR. W tym przypadku może być dowolnie duży (mały). Dlatego nie ma wartości maksymalnej (minimalnej). Problem nie ma rozwiązań.

Rozważmy przypadek, gdy skrajna linia równoległa do dowolnej prostej postaci (3) przechodzi przez jeden wierzchołek wielokąta ODR. Z wykresu wyznaczamy współrzędne tego wierzchołka. Następnie maksymalną (minimalną) wartość funkcji celu wyznacza się ze wzoru:
.
Rozwiązaniem problemu jest
.

Może zaistnieć również sytuacja, gdy linia prosta jest równoległa do jednej ze ścian ODR. Następnie prosta przechodzi przez dwa wierzchołki wielokąta ODR. Wyznaczamy współrzędne tych wierzchołków. Aby określić maksymalną (minimalną) wartość funkcji celu, możesz użyć współrzędnych dowolnego z tych wierzchołków:
.
Problem ma nieskończenie wiele rozwiązań. Rozwiązaniem jest dowolny punkt znajdujący się na odcinku pomiędzy punktami i, włączając punkty i same siebie.

Przykład rozwiązania zadania programowania liniowego metodą graficzną

Zadanie

Firma produkuje sukienki w dwóch modelach A i B. Stosowane są trzy rodzaje tkanin. Do uszycia jednej sukni modelu A potrzebne są 2 m tkaniny pierwszego rodzaju, 1 m tkaniny drugiego rodzaju, 2 m tkaniny trzeciego rodzaju. Na jedną suknię modelu B potrzeba 3 m tkaniny pierwszego rodzaju, 1 m tkaniny drugiego rodzaju i 2 m tkaniny trzeciego rodzaju. Zapasy tkaniny pierwszego rodzaju wynoszą 21 m, drugiego rodzaju - 10 m, trzeciego rodzaju - 16 m. Wypuszczenie jednego produktu typu A przynosi dochód w wysokości 400 den. szt., jeden produkt typu B - 300 den. jednostki

Opracuj plan produkcji, który zapewni firmie największe dochody. Rozwiąż problem graficznie.

Rozwiązanie

Niech zmienne i oznaczą liczbę wyprodukowanych sukienek, odpowiednio modeli A i B. Następnie ilość zużytej tkaniny pierwszego rodzaju będzie wynosić:
(M)
Ilość zużytej tkaniny drugiego rodzaju będzie wynosić:
(M)
Ilość zużytej tkaniny trzeciego rodzaju będzie wynosić:
(M)
Skoro liczba wyprodukowanych sukienek nie może być zatem ujemna
I .
Dochód z wyprodukowanych sukienek będzie wynosić:
(jednostki den.)

Wówczas model ekonomiczno-matematyczny problemu ma postać:

Rozwiązujemy to graficznie.
Rysujemy osie współrzędnych i .

Budujemy linię prostą.
Na .
Na .
Narysuj linię prostą przez punkty (0; 7) i (10,5; 0).

Budujemy linię prostą.
Na .
Na .
Narysuj linię prostą przez punkty (0; 10) i (10; 0).

Budujemy linię prostą.
Na .
Na .
Narysuj linię prostą przez punkty (0; 8) i (8; 0).

Zacieniamy obszar tak, aby punkt (2; 2) wpadł w zacienioną część. Otrzymujemy czworokąt OABC.

(A1.1) .
Na .
Na .
Narysuj linię prostą przez punkty (0; 4) i (3; 0).

Dalej zauważamy, że ponieważ współczynniki funkcji celu i funkcji celu są dodatnie (400 i 300), rośnie ona w miarę wzrostu. Rysujemy prostą równoległą do prostej (A1.1), jak najdalej od niej w kierunku rosnącym i przechodzącą przez co najmniej jeden punkt czworoboku OABC. Taka linia przechodzi przez punkt C. Z konstrukcji wyznaczamy jej współrzędne.
.

Rozwiązanie problemu: ;

Odpowiedź

.
Oznacza to, że aby uzyskać największy dochód, należy uszyć 8 sukienek modelu A. Dochód wyniesie 3200 den. jednostki

Przykład 2

Zadanie

Rozwiąż graficznie problem programowania liniowego.

Rozwiązanie

Rozwiązujemy to graficznie.
Rysujemy osie współrzędnych i .

Budujemy linię prostą.
Na .
Na .
Narysuj linię prostą przez punkty (0; 6) i (6; 0).

Budujemy linię prostą.
Stąd.
Na .
Na .
Narysuj linię prostą przechodzącą przez punkty (3; 0) i (7; 2).

Budujemy linię prostą.
Budujemy linię prostą (oś odciętych).

Obszar dopuszczalnych rozwiązań (ADA) jest ograniczony przez zbudowane linie proste. Aby dowiedzieć się, po której stronie, zauważamy, że punkt należy do ODR, ponieważ spełnia system nierówności:

Zacieniamy obszar wzdłuż granic skonstruowanych linii tak, aby punkt (4; 1) wpadł w zacienioną część. Otrzymujemy trójkąt ABC.

Budujemy dowolną linię poziomu funkcji celu, na przykład
.
Na .
Na .
Narysuj prostą linię przechodzącą przez punkty (0; 6) i (4; 0).
Ponieważ funkcja celu rośnie wraz ze wzrostem i , rysujemy prostą równoległą do linii poziomu i jak najdalej od niej w kierunku rosnącym , przechodzącą przez co najmniej jeden punkt trójkąta ABC. Taka linia przechodzi przez punkt C. Z konstrukcji wyznaczamy jej współrzędne.
.

Rozwiązanie problemu: ;

Odpowiedź

Przykład braku rozwiązania

Zadanie

Rozwiąż graficznie problem programowania liniowego. Znajdź maksymalną i minimalną wartość funkcji celu.

Rozwiązanie

Rozwiązujemy problem graficznie.
Rysujemy osie współrzędnych i .

Budujemy linię prostą.
Na .
Na .
Narysuj linię prostą przez punkty (0; 8) i (2,667; 0).

Budujemy linię prostą.
Na .
Na .
Narysuj linię prostą przez punkty (0; 3) i (6; 0).

Budujemy linię prostą.
Na .
Na .
Narysuj linię prostą przechodzącą przez punkty (3; 0) i (6; 3).

Linie proste to osie współrzędnych.

Obszar rozwiązań dopuszczalnych (ADA) jest ograniczony przez zbudowane linie proste i osie współrzędnych. Aby dowiedzieć się, po której stronie, zauważamy, że punkt należy do ODR, ponieważ spełnia system nierówności:

Zacieniamy obszar tak, aby punkt (3; 3) wpadł w zacienioną część. Otrzymujemy obszar nieograniczony ograniczony linią łamaną ABCDE.

Budujemy dowolną linię poziomu funkcji celu, na przykład
(A3.1) .
Na .
Na .
Narysuj linię prostą przez punkty (0; 7) i (7; 0).
Ponieważ współczynniki i są dodatnie, wzrasta wraz ze wzrostem i .

Aby znaleźć maksimum, należy poprowadzić linię równoległą możliwie najdalej w kierunku rosnącym i przechodzącą przez co najmniej jeden punkt obszaru ABCDE. Ponieważ jednak obszar jest nieograniczony po stronie dużych wartości i , nie można narysować takiej linii prostej. Bez względu na to, jaką linię narysujemy, zawsze będą punkty w regionie, które są bardziej odległe w kierunku rosnącym i . Dlatego nie ma maksimum. możesz zrobić go tak dużego, jak chcesz.

Szukamy minimum. Rysujemy prostą równoległą do prostej (A3.1) i jak najdalej od niej w kierunku malejącym i przechodzącą przez co najmniej jeden punkt obszaru ABCDE. Taka linia przechodzi przez punkt C. Z konstrukcji wyznaczamy jej współrzędne.
.
Minimalna wartość funkcji celu:

Odpowiedź

Nie ma wartości maksymalnej.
Minimalna wartość
.

Często graficzne przedstawienie procesu fizycznego czyni go bardziej wizualnym, a tym samym ułatwia zrozumienie rozpatrywanego zjawiska. Wykresy, czasami umożliwiające znaczne uproszczenie obliczeń, są szeroko stosowane w praktyce do rozwiązywania różnych problemów. Umiejętność ich budowania i odczytywania jest dziś obowiązkowa dla wielu specjalistów.

Za zadania graficzne uznajemy następujące zadania:

• na budownictwie, gdzie rysunki i rysunki są bardzo pomocne;
• schematy rozwiązywane za pomocą wektorów, wykresów, diagramów, diagramów i nomogramów.

1) Piłka została rzucona pionowo w górę z ziemi z prędkością początkową w O. Sporządź wykres prędkości piłki w funkcji czasu, zakładając, że uderzenia w podłoże są doskonale sprężyste. Pomiń opór powietrza. [rozwiązanie ]

2) Pasażer spóźniony na pociąg zauważył, że minął go przedostatni wagon t 1 = 10 s, a ostatni - za t 2 = 8 s. Zakładając, że ruch pociągu odbywa się z jednostajnym przyspieszeniem, oblicz czas opóźnienia. [rozwiązanie ]

3) W pomieszczeniu wysokim H na jednym końcu do sufitu przymocowana jest lekka sprężyna o sztywności k, mający długość w stanie nieodkształconym lo (lo< H ). Blok wysokości jest umieszczony na podłodze pod sprężyną X z powierzchnią bazową S, wykonane z materiału o gęstości ρ . Sporządź wykres nacisku klocka na podłogę w funkcji wysokości klocka. [rozwiązanie ]

4) Błąd czołga się wzdłuż osi Wół. Wyznacz średnią prędkość jego ruchu w obszarze pomiędzy punktami o współrzędnych x 1 = 1,0 m I x 2 = 5,0 m, jeśli wiadomo, że iloczyn prędkości owada i jego współrzędnej pozostaje cały czas stały, równy c = 500 cm2/s. [rozwiązanie ]

5) Do bloku masy 10 kg siła jest przykładana do poziomej powierzchni. Biorąc pod uwagę, że współczynnik tarcia jest równy 0,7 , definiować:

• siła tarcia dla przypadku jeśli F = 50 N i skierowane poziomo.
• siła tarcia dla przypadku jeśli F = 80 N i skierowane poziomo.
• narysuj wykres przyspieszenia klocka w funkcji siły przyłożonej poziomo.
• Jaka jest minimalna siła potrzebna do pociągnięcia liny, aby klocek równomiernie się przesunął? [rozwiązanie ]

6) Do mieszalnika podłączone są dwie rury. Każda rura posiada kran, za pomocą którego można regulować przepływ wody przez rurę, zmieniając go od zera do wartości maksymalnej Jo = 1 l/s. Woda przepływa rurami w temp t1 = 10°C I t2 = 50°C. Narysuj wykres maksymalnego przepływu wody wypływającej z mieszalnika w funkcji temperatury tej wody. Pomiń straty ciepła. [rozwiązanie ]

7) Późnym wieczorem wysoki młody mężczyzna H idzie wzdłuż krawędzi poziomego, prostego chodnika ze stałą prędkością w. Na odległość l Od krawędzi chodnika znajduje się latarnia. Płonąca latarnia jest zamocowana na wysokości H z powierzchni ziemi. Skonstruuj wykres prędkości ruchu cienia głowy człowieka w zależności od współrzędnych X. [rozwiązanie ]