Kot sledi:

S = ½ * a * h,

Kje:
S je površina trikotnika,
a je dolžina njegove stranice,
h je višina, spuščena na to stran.

Stranična dolžina in višina morata biti predstavljeni v istih enotah. V tem primeru se bo površina trikotnika izkazala v ustreznih enotah "".

Primer.
Na eno od stranic trikotnika, dolgega 20 cm, je spuščena navpičnica iz nasprotnega vrha, dolga 10 cm.
Zahtevana je površina trikotnika.
rešitev.
S = ½ * 20 * 10 = 100 (cm²).

Če poznate dolžini poljubnih dveh strani trikotnika in kota med njima, uporabite formulo:

S = ½ * a * b * sinγ,

kjer sta: a, b dolžini dveh poljubnih stranic, γ pa kot med njima.

V praksi je na primer pri merjenju površine zemljišč uporaba zgornjih formul včasih težavna, saj zahteva dodatne konstrukcije in merjenje kotov.

Če poznate dolžine vseh treh strani skalenskega trikotnika, uporabite Heronovo formulo:

S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)),

a, b, c so dolžine stranic trikotnika,
р – polobod: p = (a+b+c)/2.

Če je poleg dolžin vseh strani znan tudi polmer kroga, včrtanega v trikotnik, potem uporabimo naslednjo kompaktno formulo:

kjer je: r polmer včrtanega kroga (p je polobod).

Za izračun površine skalenskega trikotnika z uporabo polmera opisanega kroga in dolžine njegovih strani uporabite formulo:

kjer je: R polmer opisanega kroga.

Če sta znani dolžina ene od stranic trikotnika in vrednost treh kotov (načeloma sta dovolj dva - vrednost tretjega izračunamo iz enakosti vsote treh kotov trikotnika - 180º) , nato uporabite formulo:

S = (a² * sinβ * sinγ)/2sinα,

kjer je α vrednost kota nasproti strani a;
β, γ sta vrednosti preostalih dveh kotov trikotnika.

Pravilni trikotnik je trikotnik s tremi enakimi stranicami. Ima naslednje lastnosti: vse stranice pravilnega trikotnika so med seboj enake, vsi koti pa enaki 60 stopinj. Pravokotni trikotnik je enakokrak.

Boste potrebovali

• Geometrijsko znanje.

Navodilo

Naj bo podana stranica pravilnega trikotnika z dolžino a=7. Če poznate stran takšnega trikotnika, lahko enostavno izračunate njegovo površino. Za to se uporabi naslednje: S = (3^(1/2)*a^2)/4. V to formulo nadomestite vrednost a=7 in dobite naslednje: S = (7*7*3^1/2)/4 = 49 * 1,7 / 4 = 20,82. Tako smo dobili, da je ploščina enakostraničnega trikotnika s stranico a=7 enaka S=20,82.

Glede na polmer kroga bo videti takole:
S = 3*3^(1/2)*r^2, kjer je r polmer včrtanega kroga. Naj bo polmer včrtane krožnice r=4. Nadomestimo ga v prej napisano formulo in dobimo naslednji izraz: S = 3 * 1,7 * 4 * 4 = 81,6. To pomeni, da bo s polmerom včrtanega kroga, ki je enak 4, površina enakostraničnega trikotnika enaka 81,6.

Z znanim polmerom obkroženega kroga je formula za območje trikotnika videti takole: S \u003d 3 * 3 ^ (1/2) * R ^ 2/4, kjer je R polmer obrobe krog. Recimo, da je R=5, zamenjajmo to vrednost v formulo: S = 3*1,7*25/4 = 31,9. Izkazalo se je, da je s polmerom obkroženega kroga, ki je enak 5, površina trikotnika 31,9.

Opomba

Ploščina trikotnika je vedno pozitivna, tako kot dolžina stranice trikotnika in polmera včrtanega in opisanega kroga.

Koristen nasvet

Polmer vpisanih in obrobljenih krogov v enakostraničnem trikotniku se razlikuje za faktor dva, če veste to, si lahko zapomnite samo eno formulo, na primer skozi polmer včrtanega kroga, in izpeljete drugo, če poznate to izjavo.

Če je znana dolžina ene od strani trikotnika in vrednosti kotov, ki mejijo nanjo, je mogoče njeno površino izračunati na več načinov. Vsaka od formul za izračun vključuje uporabo trigonometričnih funkcij, vendar to ne bi smelo biti strašljivo - za njihov izračun je dovolj dostop do interneta, da ne omenjam prisotnosti vgrajenega kalkulatorja v operacijskem sistemu.

Navodilo

Prva možnost za izračun površine (S) iz znane dolžine ene od strani (A) in vrednosti kotov, ki mejijo nanjo (α in β), vključuje izračun teh kotov. Ploščina bo v tem primeru kvadrat dolžine znane stranice, deljen z dvakratnimi kotangensi znanih kotov: S = A*A/(2*(ctg(α)+ctg(β))). Na primer, če je dolžina znane strani 15 cm in so vrednosti kotov, ki mejijo nanjo, 40° in 60°, bo izračun površine videti takole: 15*15/(2* (ctg(40)+ctg(60))) = 225/(2*(-0,895082918+3,12460562)) = 225/4,4590454 = 50,4592305 kvadratnih centimetrov.

Druga možnost za izračun ploščine namesto kotangensov uporablja sinuse znanih kotov. V tej različici je površina enaka kvadratu dolžine znane stranice, pomnoženi s sinusi vsakega od kotov in deljeni z dvakratnim sinusom vsote teh kotov: S = A*A*sin(α )*sin(β)/(2*sin(α + β)). Na primer, za isti trikotnik z znano stranico 15 cm in sosednjima kotoma 40° in 60° bo izračun površine videti takole: (15*15*sin(40)*sin(60)) /(2* sin(40+60)) = 225*0,74511316*(-0,304810621)/(2*(-0,506365641)) = -51,1016411/-1,01273128 = 50,4592305 kvadratnih centimetrov.

V tretji različici izračuna površine trikotnika so vključeni tangenti kotov. Ploščina bo enaka kvadratu dolžine znane stranice, pomnoženi s tangentami vsakega od kotov in deljeni z dvakratno vsoto tangentov teh kotov: S = A*A*tg(α)*tg (β)/2(tg(α)+tg(β)). Na primer, za trikotnik, uporabljen v prejšnjih korakih s stranico 15 cm in sosednjima kotoma 40° in 60°, bo izračun površine videti takole: (15*15*tg(40)*tg(60 ))/(2*(tg (40)+tg(60)) = (225*(-1,11721493)*0,320040389)/(2*(-1,11721493+0,320040389)) = -80,4496277/-1,59434908 = 50,4592305 kvadrat centimetrov.

Praktične izračune je mogoče narediti na primer s kalkulatorjem iskalnika Google. Če želite to narediti, preprosto nadomestite številske vrednosti v formulah in jih vnesite v polje iskalne poizvedbe.

Nasvet 4: Kako najti površino trikotnika in pravokotnika

Trikotnik in pravokotnik sta dve najpreprostejši ravni geometrijski liki v evklidski geometriji. Znotraj obodov, ki jih tvorijo stranice teh mnogokotnikov, je določen odsek ravnine, katerega površino je mogoče določiti na več načinov. Izbira metode bo v vsakem posameznem primeru odvisna od znanih parametrov figur.

Formula za površino je potrebno za določitev površine figure, ki je realno vredna funkcija, definirana na določenem razredu likov v evklidski ravnini in izpolnjuje 4 pogoje:

1. Pozitivno – površina ne sme biti manjša od nič;
2. Normalizacija - kvadrat s stranico enote ima površino 1;
3. Skladnost - skladni liki imajo enako ploščino;
4. Aditivnost - površina združitve dveh figur brez skupnih notranjih točk je enaka vsoti površin teh figur.

Koncept območja

Koncept območja katere koli geometrijske figure, zlasti trikotnika, bo povezan s takšno sliko kot kvadrat. Za enoto površine katere koli geometrijske figure bomo vzeli površino kvadrata, katerega stranica je enaka ena. Za popolnost se spomnimo dveh osnovnih lastnosti koncepta območij geometrijskih oblik.

Lastnost 1:Če so geometrijski liki enaki, so enake tudi njihove ploščine.

Lastnost 2: Vsako figuro lahko razdelimo na več figur. Poleg tega je površina prvotne figure enaka vsoti vrednosti površin vseh figur, ki jo sestavljajo.

Razmislite o primeru.

Primer 1

Očitno je, da je ena od stranic trikotnika diagonala pravokotnika , ki ima eno stran dolžine $5$ (od $5$ celic) in drugo $6$ (od $6$ celic). Zato bo površina tega trikotnika enaka polovici takega pravokotnika. Območje pravokotnika je

Potem je območje trikotnika

Odgovor: 15 $.

Nato razmislite o več metodah za iskanje območij trikotnikov, in sicer z uporabo višine in osnove, z uporabo Heronove formule in površine enakostraničnega trikotnika.

Kako najti površino trikotnika z uporabo višine in osnove

1. izrek

Ploščino trikotnika je mogoče najti kot polovico produkta dolžine stranice in višine, narisane na to stran.

Matematično je to videti takole

$S=\frac(1)(2)αh$

kjer je $a$ dolžina stranice, $h$ je nanjo narisana višina.

Dokaz.

Razmislite o trikotniku $ABC$, kjer je $AC=α$. Na to stran je narisana višina $BH$ in je enaka $h$. Sestavimo ga do kvadrata $AXYC$ kot na sliki 2.

Ploščina pravokotnika $AXBH$ je $h\cdot AH$, ploščina pravokotnika $HBYC$ pa $h\cdot HC$. Potem

$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$

Zato je želena površina trikotnika glede na lastnost 2 enaka

$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$

Izrek je dokazan.

Primer 2

Poiščite ploščino trikotnika na spodnji sliki, če ima celica ploščino enako ena

Osnova tega trikotnika je $9$ (ker je $9$ $9$ celic). Višina je tudi $9$. Nato po izreku 1 dobimo

$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40,5$

Odgovor: 40,5 $.

Heronova formula

2. izrek

Če imamo tri stranice trikotnika $α$, $β$ in $γ$, lahko njegovo ploščino poiščemo takole

$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

tukaj $ρ$ pomeni polobseg tega trikotnika.

Dokaz.

Razmislite o naslednji sliki:

Po Pitagorovem izreku dobimo iz trikotnika $ABH$

Iz trikotnika $CBH$, po Pitagorovem izreku, imamo

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

Iz teh dveh odnosov dobimo enakost

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$

$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$

$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$

$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$

Ker je $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, potem $α+β+γ=2ρ$, torej

$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$

$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$

$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$

$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Po izreku 1 dobimo

$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Območje trikotnika - formule in primeri reševanja problemov

Spodaj so formule za iskanje območja poljubnega trikotnika ki so primerni za iskanje ploščine katerega koli trikotnika, ne glede na njegove lastnosti, kote ali dimenzije. Formule so predstavljene v obliki slike, tukaj so pojasnila za uporabo oziroma utemeljitev njihove pravilnosti. Tudi ločena slika prikazuje ujemanje črkovnih simbolov v formulah in grafičnih simbolov na risbi.

Opomba . Če ima trikotnik posebne lastnosti (enakokraki, pravokotni, enakostranični), lahko uporabite spodnje formule, kot tudi dodatne posebne formule, ki veljajo samo za trikotnike s temi lastnostmi:

• "Formule za območje enakostraničnega trikotnika"

Formule ploščine trikotnika

Pojasnila za formule:
a, b, c- dolžine strani trikotnika, katerega ploščino želimo najti
r- polmer kroga, včrtanega v trikotnik
R- polmer okoli trikotnika opisanega kroga
h- višina trikotnika, spuščena na stran
str- polobseg trikotnika, 1/2 vsote njegovih stranic (obseg)
α - kot nasprotne stranice a trikotnika
β - kot nasproti strani b trikotnika
γ - kot nasprotne stranice c trikotnika
h a, h b , h c- višina trikotnika, spuščena na stran a, b, c

Upoštevajte, da navedeni zapis ustreza zgornji sliki, tako da vam bo pri reševanju resničnega geometrijskega problema vizualno lažje zamenjati pravilne vrednosti na pravih mestih v formuli.

• Območje trikotnika je polovica zmnožka višine trikotnika in dolžine stranice, na katero je ta višina spuščena(Formula 1). Pravilnost te formule je mogoče razumeti logično. Višina, spuščena na podlago, bo poljuben trikotnik razdelila na dva pravokotna. Če vsakega od njih dopolnimo do pravokotnika z dimenzijama b in h, potem bo očitno površina teh trikotnikov enaka natanko polovici površine pravokotnika (Spr = bh)
• Območje trikotnika je polovica produkta njegovih dveh stranic in sinusa kota med njima(Formula 2) (glej primer reševanja problema z uporabo te formule spodaj). Kljub temu, da se zdi drugačen od prejšnjega, se lahko vanj enostavno spremeni. Če znižamo višino s kota B na stran b, se izkaže, da je produkt stranice a in sinusa kota γ glede na lastnosti sinusa v pravokotnem trikotniku enak višini trikotnika, narisanega z nas, kar nam bo dalo prejšnjo formulo
• Območje poljubnega trikotnika je mogoče najti skozi delo polovica polmera vanj včrtanega kroga z vsoto dolžin vseh njegovih stranic(Formula 3), z drugimi besedami, morate pomnožiti polovični obseg trikotnika s polmerom včrtanega kroga (tako si je lažje zapomniti)
• Območje poljubnega trikotnika lahko najdete tako, da zmnožek vseh njegovih strani delite s 4 polmeri kroga, ki je okoli njega opisan (formula 4)
• Formula 5 je iskanje površine trikotnika glede na dolžine njegovih stranic in polobod (polovica vsote vseh njegovih stranic)
• Heronova formula(6) je predstavitev iste formule brez uporabe koncepta polperimetra, le skozi dolžine stranic
• Površina poljubnega trikotnika je enaka zmnožku kvadrata stranice trikotnika in sinusov kotov, ki mejijo na to stran, deljeno z dvojnim sinusom kota, ki je nasproti tej strani (formula 7)
• Območje poljubnega trikotnika je mogoče najti kot zmnožek dveh kvadratov kroga, opisanega okoli njega, in sinusov vsakega od njegovih kotov. (Formula 8)
• Če sta znani dolžina ene strani in velikost obeh kotov, ki mejita nanjo, potem lahko območje trikotnika najdemo kot kvadrat te strani, deljeno z dvojno vsoto kotangensov teh koti (formula 9)
• Če je znana le dolžina vsake višine trikotnika (formula 10), potem je površina takega trikotnika obratno sorazmerna z dolžinami teh višin, kot po Heronovi formuli
• Formula 11 vam omogoča izračun območje trikotnika glede na koordinate njegovih oglišč, ki so podane kot (x;y) vrednosti za vsako od tock. Upoštevajte, da je treba dobljeno vrednost vzeti modulo, saj so lahko koordinate posameznih (ali celo vseh) točk v območju negativnih vrednosti

Opomba. Sledijo primeri reševanja geometrijskih problemov za iskanje območja trikotnika. Če morate rešiti problem v geometriji, ki ni podoben tukaj - pišite o tem na forumu. V rešitvah se lahko namesto simbola "kvadratni koren" uporabi funkcija sqrt(), pri čemer je sqrt simbol kvadratnega korena, radikalni izraz pa je naveden v oklepaju.Včasih se lahko simbol uporablja za preproste radikalne izraze √

Naloga. Poiščite površino dveh strani in kot med njima

Stranici trikotnika sta 5 in 6 cm, kot med njima pa je 60 stopinj. Poiščite območje trikotnika.

rešitev.

Za rešitev tega problema uporabimo formulo številka dve iz teoretičnega dela lekcije.
Območje trikotnika je mogoče najti skozi dolžine dveh stranic in sinus kota med njima in bo enako
S=1/2 ab sin γ

Ker imamo vse potrebne podatke za rešitev (po formuli), lahko v formulo nadomestimo samo vrednosti iz navedbe problema:
S=1/2*5*6*sin60

V tabeli vrednosti trigonometričnih funkcij najdemo in v izrazu nadomestimo vrednost sinusa 60 stopinj. To bo enako korenu tri krat dva.
S = 15 √3 / 2

Odgovori: 7,5 √3 (glede na zahteve učitelja je verjetno možno pustiti 15 √3/2)

Naloga. Poiščite površino enakostraničnega trikotnika

Poiščite ploščino enakostraničnega trikotnika s stranico 3 cm.

rešitev

Območje trikotnika je mogoče najti s Heronovo formulo:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

Ker je a \u003d b \u003d c, bo formula za območje enakostraničnega trikotnika v obliki:

S = √3 / 4 * a2

S = √3 / 4 * 3 2

Odgovori: 9 √3 / 4.

Naloga. Sprememba površine pri spreminjanju dolžine stranic

Kolikokrat se bo ploščina trikotnika povečala, če stranice štirikratimo?

rešitev.

Ker nam dimenzije stranic trikotnika niso znane, bomo za rešitev problema predpostavili, da so dolžine strani enake poljubnim številom a, b, c. Nato, da bi odgovorili na vprašanje problema, poiščemo območje tega trikotnika in nato poiščemo območje trikotnika, katerega stranice so štirikrat večje. Razmerje ploščin teh trikotnikov nam bo dalo odgovor na problem.

Nato podamo besedilno razlago rešitve problema po korakih. Vendar pa je na samem koncu ista rešitev predstavljena v grafični obliki, ki je bolj priročna za zaznavanje. Kdor želi, lahko rešitev takoj spusti.

Za rešitev uporabljamo Heronovo formulo (glej zgoraj v teoretičnem delu lekcije). Videti je takole:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(glej prvo vrstico spodnje slike)

Dolžine stranic poljubnega trikotnika so podane s spremenljivkami a, b, c.
Če se stranice povečajo za 4-krat, bo površina novega trikotnika c:

S 2 = 1/4 sqrt((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(glej drugo vrstico na spodnji sliki)

Kot lahko vidite, je 4 skupni faktor, ki ga lahko v skladu s splošnimi matematičnimi pravili označimo za vse štiri izraze.
Potem

S 2 = 1/4 sqrt(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - v tretji vrstici slike
S 2 = 1/4 sqrt(256 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - četrta vrstica

Iz števila 256 se kvadratni koren popolnoma izvleče, zato ga bomo vzeli izpod korena
S 2 = 16 * 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(glej peto vrstico spodnje slike)

Da bi odgovorili na vprašanje, zastavljeno v problemu, je dovolj, da razdelimo površino nastalega trikotnika s površino prvotnega.
Ploščinska razmerja določimo tako, da izraze razdelimo enega na drugega in dobljeni ulomek zmanjšamo.

Koncept območja

Koncept območja katere koli geometrijske figure, zlasti trikotnika, bo povezan s takšno sliko kot kvadrat. Za enoto površine katere koli geometrijske figure bomo vzeli površino kvadrata, katerega stranica je enaka ena. Za popolnost se spomnimo dveh osnovnih lastnosti koncepta območij geometrijskih oblik.

Lastnost 1:Če so geometrijski liki enaki, so enake tudi njihove ploščine.

Lastnost 2: Vsako figuro lahko razdelimo na več figur. Poleg tega je površina prvotne figure enaka vsoti vrednosti površin vseh figur, ki jo sestavljajo.

Razmislite o primeru.

Primer 1

Očitno je, da je ena od stranic trikotnika diagonala pravokotnika , ki ima eno stran dolžine $5$ (od $5$ celic) in drugo $6$ (od $6$ celic). Zato bo površina tega trikotnika enaka polovici takega pravokotnika. Območje pravokotnika je

Potem je območje trikotnika

Odgovor: 15 $.

Nato razmislite o več metodah za iskanje območij trikotnikov, in sicer z uporabo višine in osnove, z uporabo Heronove formule in površine enakostraničnega trikotnika.

Kako najti površino trikotnika z uporabo višine in osnove

1. izrek

Ploščino trikotnika je mogoče najti kot polovico produkta dolžine stranice in višine, narisane na to stran.

Matematično je to videti takole

$S=\frac(1)(2)αh$

kjer je $a$ dolžina stranice, $h$ je nanjo narisana višina.

Dokaz.

Razmislite o trikotniku $ABC$, kjer je $AC=α$. Na to stran je narisana višina $BH$ in je enaka $h$. Sestavimo ga do kvadrata $AXYC$ kot na sliki 2.

Ploščina pravokotnika $AXBH$ je $h\cdot AH$, ploščina pravokotnika $HBYC$ pa $h\cdot HC$. Potem

$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$

Zato je želena površina trikotnika glede na lastnost 2 enaka

$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$

Izrek je dokazan.

Primer 2

Poiščite ploščino trikotnika na spodnji sliki, če ima celica ploščino enako ena

Osnova tega trikotnika je $9$ (ker je $9$ $9$ celic). Višina je tudi $9$. Nato po izreku 1 dobimo

$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40,5$

Odgovor: 40,5 $.

Heronova formula

2. izrek

Če imamo tri stranice trikotnika $α$, $β$ in $γ$, lahko njegovo ploščino poiščemo takole

$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

tukaj $ρ$ pomeni polobseg tega trikotnika.

Dokaz.

Razmislite o naslednji sliki:

Po Pitagorovem izreku dobimo iz trikotnika $ABH$

Iz trikotnika $CBH$, po Pitagorovem izreku, imamo

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

Iz teh dveh odnosov dobimo enakost

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$

$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$

$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$

$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$

Ker je $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, potem $α+β+γ=2ρ$, torej

$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$

$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$

$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$

$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Po izreku 1 dobimo

$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$