Comme suit:

S = ½ * a * h,

Où:
S – aire du triangle,
a est la longueur de son côté,
h est la hauteur abaissée de ce côté.

La longueur et la hauteur des côtés doivent être présentées dans les mêmes unités de mesure. Dans ce cas, l’aire du triangle sera obtenue dans les unités « » correspondantes.

Exemple.
D'un côté d'un triangle scalène de 20 cm de long, une perpendiculaire au sommet opposé de 10 cm de long est abaissée.
L'aire du triangle est obligatoire.
Solution.
S = ½ * 20 * 10 = 100 (cm²).

Si les longueurs de deux côtés quelconques d'un triangle scalène et l'angle entre eux sont connus, utilisez la formule :

S = ½ * a * b * sinγ,

où : a, b sont les longueurs de deux côtés arbitraires et γ est la valeur de l'angle entre eux.

En pratique, par exemple, lors de la mesure de la superficie d'un terrain, l'utilisation des formules ci-dessus est parfois difficile, car elle nécessite une construction et une mesure d'angles supplémentaires.

Si vous connaissez les longueurs des trois côtés d’un triangle scalène, utilisez la formule de Heron :

S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)),

a, b, c – longueurs des côtés du triangle,
p – demi-périmètre : p = (a+b+c)/2.

Si, en plus des longueurs de tous les côtés, le rayon du cercle inscrit dans le triangle est connu, alors utilisez la formule compacte suivante :

où : r – rayon du cercle inscrit (р – demi-périmètre).

Pour calculer l'aire d'un triangle scalène en utilisant le rayon du cercle circonscrit et la longueur de ses côtés, utilisez la formule :

où : R – rayon du cercle circonscrit.

Si la longueur d'un des côtés du triangle et les valeurs de trois angles sont connues (en principe, deux suffisent - la valeur du troisième est calculée à partir de l'égalité de la somme des trois angles du triangle - 180º), puis utilisez la formule :

S = (a² * sinβ * sinγ)/2sinα,

où α est la valeur de l'angle opposé au côté a ;
β, γ – valeurs des deux angles restants du triangle.

Un triangle régulier est un triangle ayant trois côtés égaux. Il a les propriétés suivantes : tous les côtés d'un triangle régulier sont égaux les uns aux autres et tous les angles sont égaux à 60 degrés. Un triangle régulier est isocèle.

Tu auras besoin de

• Connaissance de la géométrie.

Instructions

Soit un côté d'un triangle régulier de longueur a=7. Connaissant le côté d’un tel triangle, vous pouvez facilement calculer son aire. Pour cela, on utilise ce qui suit : S = (3^(1/2)*a^2)/4. Remplaçons la valeur a=7 dans cette formule et obtenons ce qui suit : S = (7*7*3^1/2)/4 = 49 * 1,7 / 4 = 20,82. Ainsi, nous avons constaté que l'aire d'un triangle équilatéral de côté a=7 est égale à S=20,82.

Si le rayon du cercle est donné, il ressemblera à ceci :
S = 3*3^(1/2)*r^2, où r est le rayon du cercle inscrit. Soit le rayon du cercle inscrit r=4. Remplaçons-le dans la formule écrite précédemment et obtenons l'expression suivante : S = 3*1,7*4*4 = 81,6. Autrement dit, si le rayon du cercle inscrit est égal à 4, l'aire du triangle équilatéral sera égale à 81,6.

Avec un rayon connu du cercle circonscrit, la formule de l'aire d'un triangle ressemble à ceci : S = 3*3^(1/2)*R^2/4, où R est le rayon du cercle circonscrit . Supposons que R=5, remplacez cette valeur dans la formule : S = 3*1,7*25/4 = 31,9. Il s'avère qu'avec un rayon du cercle circonscrit égal à 5, l'aire du triangle est de 31,9.

note

L'aire d'un triangle est toujours positive, tout comme la longueur d'un côté d'un triangle et les rayons des cercles inscrits et circonscrits.

Conseil utile

Le rayon des cercles inscrits et circonscrits dans un triangle équilatéral diffère d'un facteur deux, sachant cela, vous ne pouvez mémoriser qu'une seule formule, par exemple, à travers le rayon du cercle inscrit, et dériver la seconde, connaissant cette affirmation.

Si la longueur d'un des côtés d'un triangle et les valeurs des angles adjacents sont connues, son aire peut être calculée de plusieurs manières. Chacune des formules de calcul implique l'utilisation de fonctions trigonométriques, mais cela ne doit pas être intimidant - pour les calculer, il suffit d'avoir accès à Internet, sans parler de la présence d'une calculatrice intégrée au système d'exploitation.

Instructions

La première option pour calculer l'aire (S) à partir de la longueur connue d'un des côtés (A) et des valeurs des angles adjacents (α et β) consiste à calculer ces angles. L'aire dans ce cas sera le carré de la longueur du côté connu, divisé par deux fois les cotangentes des angles connus : S = A*A/(2*(ctg(α)+ctg(β))). Par exemple, si la longueur d'un côté connu est de 15 cm et que les angles adjacents sont de 40° et 60°, alors le calcul de l'aire ressemblera à ceci : 15*15/(2*(ctg(40)+ctg(60 ))) = 225/(2*(-0,895082918+3,12460562)) = 225/4,4590454 = 50,4592305 centimètres carrés.

La deuxième option de calcul de l'aire utilise les sinus d'angles connus au lieu de cotangentes. Dans cette version, l'aire est égale au carré de la longueur du côté connu, multiplié par les sinus de chacun des angles et divisé par le double du sinus de la somme de ces angles : S = A*A*sin(α )*sin(β)/(2*sin(α + β) ). Par exemple, pour le même triangle avec un côté connu de 15 cm et des angles adjacents de 40° et 60°, le calcul de l'aire ressemblera à ceci : (15*15*sin(40)*sin(60))/( 2* sin(40+60)) = 225*0,74511316*(-0,304810621)/(2*(-0,506365641)) = -51,1016411/-1,01273128 = 50,4592305 centimètres carrés.

La troisième option pour calculer l'aire d'un triangle utilise les tangentes des angles. L'aire sera égale au carré de la longueur du côté connu, multiplié par les tangentes de chacun des angles et divisé par le double de la somme des tangentes de ces angles : S = A*A*tg(α)*tg (β)/2(tg(α)+tg(β) ). Par exemple, pour un triangle utilisé dans les étapes précédentes avec un côté de 15 cm et des angles adjacents de 40° et 60°, le calcul de l'aire ressemblera à ceci : (15*15*tg(40)*tg(60 ))/(2*(tg (40)+tg(60)) = (225*(-1,11721493)*0,320040389)/(2*(-1,11721493+0,320040389)) = -80,4496277/-1,59434908 = 50,4592305 centimètres carrés .

Des calculs pratiques peuvent être effectués, par exemple, à l'aide du calculateur du moteur de recherche Google. Pour ce faire, remplacez simplement les valeurs numériques dans les formules et saisissez-les dans le champ de requête de recherche.

Astuce 4 : Comment trouver l'aire d'un triangle et d'un rectangle

Le triangle et le rectangle sont les deux figures géométriques planes les plus simples de la géométrie euclidienne. À l'intérieur des périmètres formés par les côtés de ces polygones, il y a une certaine section du plan dont l'aire peut être déterminée de plusieurs manières. Le choix de la méthode dans chaque cas spécifique dépendra des paramètres connus des figures.

Formule de superficie est nécessaire pour déterminer l'aire d'une figure, qui est une fonction à valeur réelle définie sur une certaine classe de figures du plan euclidien et satisfaisant 4 conditions :

1. Positivité - La surface ne peut pas être inférieure à zéro ;
2. Normalisation - un carré avec unité latérale a une aire 1 ;
3. Congruence : les figures congruentes ont une surface égale ;
4. Additivité - l'aire de l'union de 2 figures sans points internes communs est égale à la somme des aires de ces figures.

Notion de zone

La notion d'aire de toute figure géométrique, notamment d'un triangle, sera associée à une figure telle qu'un carré. Pour l'aire unitaire de toute figure géométrique, nous prendrons l'aire d'un carré dont le côté est égal à un. Pour être complet, rappelons deux propriétés fondamentales de la notion d'aires de figures géométriques.

Propriété 1 : Si les figures géométriques sont égales, alors leurs aires sont également égales.

Propriété 2 : Toute figure peut être divisée en plusieurs figures. De plus, l'aire de la figure originale est égale à la somme des aires de toutes ses figures constitutives.

Regardons un exemple.

Exemple 1

Évidemment, l'un des côtés du triangle est une diagonale d'un rectangle dont un côté a une longueur de 5$ (puisqu'il y a des cellules de 5$) et l'autre est de 6$ (puisqu'il y a des cellules de 6$). Par conséquent, l'aire de ce triangle sera égale à la moitié d'un tel rectangle. L'aire du rectangle est

Alors l'aire du triangle est égale à

Réponse : 15$.

Ensuite, nous examinerons plusieurs méthodes pour trouver les aires des triangles, à savoir en utilisant la hauteur et la base, en utilisant la formule de Heron et l'aire d'un triangle équilatéral.

Comment trouver l'aire d'un triangle en utilisant sa hauteur et sa base

Théorème 1

L'aire d'un triangle peut être trouvée comme la moitié du produit de la longueur d'un côté et de la hauteur de ce côté.

Mathématiquement, ça ressemble à ça

$S=\frac(1)(2)αh$

où $a$ est la longueur du côté, $h$ est la hauteur qui y est dessinée.

Preuve.

Considérons un triangle $ABC$ dans lequel $AC=α$. La hauteur $BH$ est tracée de ce côté, ce qui est égal à $h$. Construisons-le jusqu'au carré $AXYC$ comme dans la figure 2.

L'aire du rectangle $AXBH$ est $h\cdot AH$, et l'aire du rectangle $HBYC$ est $h\cdot HC$. Alors

$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$

Par conséquent, l'aire requise du triangle, par la propriété 2, est égale à

$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$

Le théorème a été prouvé.

Exemple 2

Trouvez l'aire du triangle dans la figure ci-dessous si la cellule a une aire égale à un

La base de ce triangle est égale à 9$ (puisque 9$ sont des carrés de 9$). La hauteur est également de 9$. Alors, d'après le théorème 1, on obtient

$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40,5$

Réponse : 40,5$.

La formule du héron

Théorème 2

Si on nous donne trois côtés d'un triangle $α$, $β$ et $γ$, alors son aire peut être trouvée comme suit

$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

ici $ρ$ signifie le demi-périmètre de ce triangle.

Preuve.

Considérons la figure suivante :

D'après le théorème de Pythagore, à partir du triangle $ABH$ on obtient

A partir du triangle $CBH$, d'après le théorème de Pythagore, on a

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

De ces deux relations on obtient l'égalité

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$

$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$

$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$

$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$

Puisque $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, alors $α+β+γ=2ρ$, ce qui signifie

$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$

$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$

$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$

$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

D'après le théorème 1, on obtient

$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Aire d'un triangle - formules et exemples de résolution de problèmes

Ci-dessous sont formules pour trouver l'aire d'un triangle arbitraire qui conviennent pour trouver l'aire de n'importe quel triangle, quels que soient ses propriétés, ses angles ou ses tailles. Les formules sont présentées sous forme d'image, avec des explications sur leur application ou une justification de leur exactitude. En outre, une figure distincte montre la correspondance entre les symboles alphabétiques dans les formules et les symboles graphiques dans le dessin.

Note . Si le triangle a des propriétés particulières (isocèle, rectangulaire, équilatéral), vous pouvez utiliser les formules données ci-dessous, ainsi que des formules spéciales supplémentaires qui ne sont valables que pour les triangles ayant ces propriétés :

• "Formule pour l'aire d'un triangle équilatéral"

Formules d'aire triangulaire

Explications des formules:
une, b, c- les longueurs des côtés du triangle dont on veut trouver l'aire
r- rayon du cercle inscrit dans le triangle
R.- rayon du cercle circonscrit au triangle
h- hauteur du triangle abaissé sur le côté
p- demi-périmètre d'un triangle, 1/2 de la somme de ses côtés (périmètre)
α - angle opposé au côté a du triangle
β - angle opposé au côté b du triangle
γ - angle opposé au côté c du triangle
h un, h b , h c- hauteur du triangle abaissé des côtés a, b, c

Veuillez noter que les notations données correspondent à la figure ci-dessus, de sorte que lors de la résolution d'un problème de géométrie réel, il vous sera visuellement plus facile de substituer les valeurs correctes aux bons endroits dans la formule.

• L'aire du triangle est la moitié du produit de la hauteur du triangle et de la longueur du côté dont cette hauteur est abaissée(Formule 1). L’exactitude de cette formule peut être comprise logiquement. La hauteur abaissée jusqu'à la base divisera un triangle arbitraire en deux rectangles. Si vous construisez chacun d'eux dans un rectangle de dimensions b et h, alors évidemment l'aire de ces triangles sera égale exactement à la moitié de l'aire du rectangle (Spr = bh)
• L'aire du triangle est la moitié du produit de ses deux côtés par le sinus de l'angle qui les sépare(Formule 2) (voir un exemple de résolution d'un problème en utilisant cette formule ci-dessous). Même s'il semble différent du précédent, il peut facilement s'y transformer. Si nous abaissons la hauteur de l'angle B au côté b, il s'avère que le produit du côté a et du sinus de l'angle γ, selon les propriétés du sinus dans un triangle rectangle, est égal à la hauteur du triangle que nous avons dessiné , ce qui nous donne la formule précédente
• L'aire d'un triangle arbitraire peut être trouvée à travers travail la moitié du rayon du cercle qui y est inscrit par la somme des longueurs de tous ses côtés(Formule 3), en termes simples, vous devez multiplier le demi-périmètre du triangle par le rayon du cercle inscrit (c'est plus facile à retenir)
• L'aire d'un triangle arbitraire peut être trouvée en divisant le produit de tous ses côtés par 4 rayons du cercle circonscrit autour de lui (Formule 4)
• La formule 5 consiste à trouver l'aire d'un triangle à travers les longueurs de ses côtés et son demi-périmètre (la moitié de la somme de tous ses côtés)
• La formule du héron(6) est une représentation de la même formule sans utiliser la notion de demi-périmètre, uniquement à travers les longueurs des côtés
• L'aire d'un triangle arbitraire est égale au produit du carré du côté du triangle et des sinus des angles adjacents à ce côté divisé par le double sinus de l'angle opposé à ce côté (Formule 7)
• L'aire d'un triangle arbitraire peut être trouvée comme le produit de deux carrés du cercle circonscrit autour de lui par les sinus de chacun de ses angles. (Formule 8)
• Si la longueur d'un côté et les valeurs de deux angles adjacents sont connues, alors l'aire du triangle peut être trouvée comme le carré de ce côté divisé par la double somme des cotangentes de ces angles (Formule 9)
• Si seule la longueur de chacune des hauteurs du triangle est connue (Formule 10), alors l'aire d'un tel triangle est inversement proportionnelle aux longueurs de ces hauteurs, comme selon la formule de Héron
• La Formule 11 permet de calculer aire d'un triangle basée sur les coordonnées de ses sommets, qui sont spécifiés sous forme de valeurs (x;y) pour chacun des sommets. Veuillez noter que la valeur résultante doit être prise modulo, car les coordonnées des sommets individuels (ou même de tous) peuvent se situer dans la région des valeurs négatives.

Note. Voici des exemples de résolution de problèmes de géométrie pour trouver l'aire d'un triangle. Si vous avez besoin de résoudre un problème de géométrie qui n'est pas similaire ici, écrivez-le sur le forum. Dans les solutions, au lieu du symbole "racine carrée", la fonction sqrt() peut être utilisée, dans laquelle sqrt est le symbole racine carrée, et l'expression radicale est indiquée entre parenthèses.Parfois, pour des expressions radicales simples, le symbole peut être utilisé √

Tâche. Trouver l'aire donnée par deux côtés et l'angle entre eux

Les côtés du triangle mesurent 5 et 6 cm et l'angle entre eux est de 60 degrés. Trouver l'aire du triangle.

Solution.

Pour résoudre ce problème, nous utilisons la formule numéro deux de la partie théorique de la leçon.
L'aire d'un triangle peut être trouvée à travers les longueurs de deux côtés et le sinus de l'angle qui les sépare et sera égale à
S = 1/2 ab sin γ

Puisque nous disposons de toutes les données nécessaires à la solution (selon la formule), nous ne pouvons substituer que les valeurs des conditions du problème dans la formule :
S = 1/2 * 5 * 6 * péché 60

Dans le tableau des valeurs des fonctions trigonométriques, nous trouverons et substituerons la valeur du sinus 60 degrés dans l'expression. Ce sera égal à la racine de trois fois deux.
S = 15 √3 / 2

Répondre: 7,5 √3 (selon les exigences du professeur, vous pouvez probablement laisser 15 √3/2)

Tâche. Trouver l'aire d'un triangle équilatéral

Trouvez l'aire d'un triangle équilatéral de côté 3 cm.

Solution .

L'aire d'un triangle peut être trouvée à l'aide de la formule de Heron :

S = 1/4 carré ((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

Puisque a = b = c, la formule de l'aire d'un triangle équilatéral prend la forme :

S = √3 / 4 * une 2

S = √3 / 4 * 3 2

Répondre: 9 √3 / 4.

Tâche. Changement de surface lors du changement de longueur des côtés

Combien de fois l'aire du triangle augmentera-t-elle si les côtés sont augmentés de 4 fois ?

Solution.

Puisque les dimensions des côtés du triangle nous sont inconnues, pour résoudre le problème nous supposerons que les longueurs des côtés sont respectivement égales à des nombres arbitraires a, b, c. Ensuite, afin de répondre à la question du problème, nous trouverons l'aire du triangle donné, puis nous trouverons l'aire du triangle dont les côtés sont quatre fois plus grands. Le rapport des aires de ces triangles nous donnera la réponse au problème.

Ci-dessous, nous fournissons une explication textuelle de la solution au problème étape par étape. Cependant, à la toute fin, cette même solution est présentée sous une forme graphique plus pratique. Les personnes intéressées peuvent immédiatement consulter les solutions.

Pour résoudre, on utilise la formule de Héron (voir ci-dessus dans la partie théorique de la leçon). Cela ressemble à ceci :

S = 1/4 carré ((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(voir première ligne de l'image ci-dessous)

Les longueurs des côtés d'un triangle arbitraire sont spécifiées par les variables a, b, c.
Si les côtés sont augmentés de 4 fois, alors l'aire du nouveau triangle c sera :

S 2 = 1/4 carré ((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(voir deuxième ligne dans l'image ci-dessous)

Comme vous pouvez le voir, 4 est un facteur commun qui peut être retiré des parenthèses des quatre expressions selon les règles générales des mathématiques.
Alors

S 2 = 1/4 carré(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - sur la troisième ligne de l'image
S 2 = 1/4 carré(256 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - quatrième ligne

La racine carrée du nombre 256 est parfaitement extraite, alors retirons-la sous la racine
S 2 = 16 * 1/4 carré((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 carré((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(voir cinquième ligne de l'image ci-dessous)

Pour répondre à la question posée dans le problème, il suffit de diviser l'aire du triangle obtenu par l'aire de celui d'origine.
Déterminons les rapports de superficie en divisant les expressions les unes par les autres et en réduisant la fraction résultante.

Notion de zone

La notion d'aire de toute figure géométrique, notamment d'un triangle, sera associée à une figure telle qu'un carré. Pour l'aire unitaire de toute figure géométrique, nous prendrons l'aire d'un carré dont le côté est égal à un. Pour être complet, rappelons deux propriétés fondamentales de la notion d'aires de figures géométriques.

Propriété 1 : Si les figures géométriques sont égales, alors leurs aires sont également égales.

Propriété 2 : Toute figure peut être divisée en plusieurs figures. De plus, l'aire de la figure originale est égale à la somme des aires de toutes ses figures constitutives.

Regardons un exemple.

Exemple 1

Évidemment, l'un des côtés du triangle est une diagonale d'un rectangle dont un côté a une longueur de 5$ (puisqu'il y a des cellules de 5$) et l'autre est de 6$ (puisqu'il y a des cellules de 6$). Par conséquent, l'aire de ce triangle sera égale à la moitié d'un tel rectangle. L'aire du rectangle est

Alors l'aire du triangle est égale à

Réponse : 15$.

Ensuite, nous examinerons plusieurs méthodes pour trouver les aires des triangles, à savoir en utilisant la hauteur et la base, en utilisant la formule de Heron et l'aire d'un triangle équilatéral.

Comment trouver l'aire d'un triangle en utilisant sa hauteur et sa base

Théorème 1

L'aire d'un triangle peut être trouvée comme la moitié du produit de la longueur d'un côté et de la hauteur de ce côté.

Mathématiquement, ça ressemble à ça

$S=\frac(1)(2)αh$

où $a$ est la longueur du côté, $h$ est la hauteur qui y est dessinée.

Preuve.

Considérons un triangle $ABC$ dans lequel $AC=α$. La hauteur $BH$ est tracée de ce côté, ce qui est égal à $h$. Construisons-le jusqu'au carré $AXYC$ comme dans la figure 2.

L'aire du rectangle $AXBH$ est $h\cdot AH$, et l'aire du rectangle $HBYC$ est $h\cdot HC$. Alors

$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$

Par conséquent, l'aire requise du triangle, par la propriété 2, est égale à

$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$

Le théorème a été prouvé.

Exemple 2

Trouvez l'aire du triangle dans la figure ci-dessous si la cellule a une aire égale à un

La base de ce triangle est égale à 9$ (puisque 9$ sont des carrés de 9$). La hauteur est également de 9$. Alors, d'après le théorème 1, on obtient

$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40,5$

Réponse : 40,5$.

La formule du héron

Théorème 2

Si on nous donne trois côtés d'un triangle $α$, $β$ et $γ$, alors son aire peut être trouvée comme suit

$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

ici $ρ$ signifie le demi-périmètre de ce triangle.

Preuve.

Considérons la figure suivante :

D'après le théorème de Pythagore, à partir du triangle $ABH$ on obtient

A partir du triangle $CBH$, d'après le théorème de Pythagore, on a

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

De ces deux relations on obtient l'égalité

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$

$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$

$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$

$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$

Puisque $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, alors $α+β+γ=2ρ$, ce qui signifie

$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$

$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$

$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$

$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

D'après le théorème 1, on obtient

$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$