Järgnevalt:

S = ½ * a * h,

Kus:
S – kolmnurga pindala,
a on selle külje pikkus,
h on sellele küljele langetatud kõrgus.

Külje pikkus ja kõrgus tuleb esitada samades mõõtühikutes. Sel juhul saadakse kolmnurga pindala vastavates “ ” ühikutes.

Näide.
20 cm pikkuse skaala kolmnurga ühel küljel langetatakse 10 cm pikkune risti vastastipust.
Kolmnurga pindala on nõutav.
Lahendus.
S = ½ * 20 * 10 = 100 (cm²).

Kui skaalakolmnurga mis tahes kahe külje pikkused ja nendevaheline nurk on teada, kasutage valemit:

S = ½ * a * b * sinγ,

kus: a, b on kahe suvalise külje pikkused ja γ on nendevahelise nurga väärtus.

Praktikas on näiteks maa pindala mõõtmisel ülaltoodud valemite kasutamine mõnikord keeruline, kuna see nõuab täiendavat ehitamist ja nurkade mõõtmist.

Kui teate skaala kolmnurga kõigi kolme külje pikkust, kasutage Heroni valemit:

S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)),

a, b, c – kolmnurga külgede pikkused,
p – poolperimeeter: p = (a+b+c)/2.

Kui lisaks kõigi külgede pikkustele on teada ka kolmnurga sisse kirjutatud ringi raadius, kasutage järgmist kompaktset valemit:

kus: r – sisse kirjutatud ringi raadius (р – poolperimeeter).

Skaalakujulise kolmnurga pindala arvutamiseks ümbermõõdu raadiuse ja selle külgede pikkuse abil kasutage valemit:

kus: R – piiritletud ringi raadius.

Kui kolmnurga ühe külje pikkus ja kolme nurga väärtused on teada (põhimõtteliselt piisab kahest - kolmanda väärtus arvutatakse kolmnurga kolme nurga summa võrdusest - 180º), seejärel kasutage valemit:

S = (a² * sinβ * sinγ)/2sinα,

kus α on külje a vastasnurga väärtus;
β, γ – kolmnurga ülejäänud kahe nurga väärtused.

Tavaline kolmnurk on kolmnurk, millel on kolm võrdset külge. Sellel on järgmised omadused: tavalise kolmnurga kõik küljed on üksteisega võrdsed ja kõik nurgad on 60 kraadi. Regulaarne kolmnurk on võrdhaarne.

Sa vajad

• Geomeetria tundmine.

Juhised

Olgu antud korrapärase kolmnurga külg pikkusega a=7. Teades sellise kolmnurga külge, saate hõlpsalt arvutada selle pindala. Selleks kasutatakse järgmist: S = (3^(1/2)*a^2)/4. Asendame selle valemiga väärtuse a=7 ja saame järgmise: S = (7*7*3^1/2)/4 = 49 * 1,7 / 4 = 20,82. Seega leidsime, et võrdkülgse kolmnurga küljega a = 7 pindala on võrdne S = 20,82.

Kui ringi raadius on antud, näeb see välja järgmine:
S = 3*3^(1/2)*r^2, kus r on sisse kirjutatud ringjoone raadius. Olgu sisse kirjutatud ringjoone raadius r=4. Asendame selle varem kirjutatud valemiga ja saame järgmise avaldise: S = 3*1,7*4*4 = 81,6. See tähendab, et kui sisse kirjutatud ringi raadius on 4, on võrdkülgse kolmnurga pindala 81,6.

Piiratud ringi teadaoleva raadiusega näeb kolmnurga pindala valem välja selline: S = 3*3^(1/2)*R^2/4, kus R on piiritletud ringi raadius . Oletame, et R=5, asenda see väärtus valemiga: S = 3*1,7*25/4 = 31,9. Selgub, et kui piiritletud ringi raadius on 5, on kolmnurga pindala 31,9.

Märge

Kolmnurga pindala on alati positiivne, nagu ka kolmnurga külje pikkus ning sissekirjutatud ja piiritletud ringide raadiused.

Abistavad nõuanded

Võrdkülgse kolmnurga sissekirjutatud ja piiritletud ringide raadius erineb kahekordselt, seda teades võite meeles pidada ainult ühte valemit, näiteks läbi kirjutatud ringi raadiuse, ja tuletada teise, teades seda väidet.

Kui kolmnurga ühe külje pikkus ja külgnevate nurkade väärtused on teada, saab selle pindala arvutada mitmel viisil. Iga arvutusvalem hõlmab trigonomeetriliste funktsioonide kasutamist, kuid see ei tohiks olla hirmutav - nende arvutamiseks piisab Interneti-juurdepääsu olemasolust, rääkimata sisseehitatud kalkulaatori olemasolust operatsioonisüsteemis.

Juhised

Esimene võimalus pindala (S) arvutamiseks ühe külje (A) teadaoleva pikkuse ja külgnevate nurkade (α ja β) väärtuste põhjal hõlmab nende nurkade arvutamist. Pindala on sel juhul teadaoleva külje pikkuse ruut, mis on jagatud teadaolevate nurkade kahekordsete kotangentidega: S = A*A/(2*(ctg(α)+ctg(β))). Näiteks kui teadaoleva külje pikkus on 15 cm ja külgnevad nurgad on 40° ja 60°, siis pindala arvutamine näeb välja selline: 15*15/(2*(ctg(40)+ctg(60) ))) = 225/(2*(-0,895082918+3,12460562)) = 225/4,4590454 = 50,4592305 ruutsentimeetrit.

Teine pindala arvutamise võimalus kasutab kotangentide asemel teadaolevate nurkade siinusi. Selles versioonis võrdub pindala teadaoleva külje pikkuse ruuduga, mis on korrutatud iga nurga siinustega ja jagatud nende nurkade summa kahekordse siinusega: S = A*A*sin(α )*sin(β)/(2*sin(α + β) ). Näiteks sama kolmnurga puhul, mille teadaolev külg on 15 cm ja külgnevad nurgad 40° ja 60°, näeb pindala arvutamine välja järgmine: (15*15*sin(40)*sin(60))/( 2* sin(40+60)) = 225*0,74511316*(-0,304810621)/(2*(-0,506365641)) = -51,1016411/-1,01273128 = 50,45923 ruutsentimeetrit.

Kolmas võimalus kolmnurga pindala arvutamiseks kasutab nurkade puutujaid. Pindala võrdub teadaoleva külje pikkuse ruuduga, mis on korrutatud iga nurga puutujatega ja jagatud nende nurkade puutujate kahekordse summaga: S = A*A*tg(α)*tg (β)/2(tg(α)+tg(β) ). Näiteks eelmistes etappides kasutatud kolmnurga puhul, mille külg on 15 cm ja külgnevad nurgad 40° ja 60°, näeb pindala arvutamine välja järgmine: (15*15*tg(40)*tg(60) ))/(2*(tg (40)+tg(60)) = (225*(-1,11721493)*0,320040389)/(2*(-1,11721493+0,320040389)) = -80,44940389)) = -80,44940389)) = -80,449040389) = -80,44940389) = -80,449040389) = -80,449040389 meetrit.

Praktilisi arvutusi saab teha näiteks Google otsingumootori kalkulaatori abil. Selleks lihtsalt asendage valemitesse arvväärtused ja sisestage need otsingupäringu väljale.

Vihje 4: kuidas leida kolmnurga ja ristküliku pindala

Kolmnurk ja ristkülik on Eukleidilise geomeetria kaks kõige lihtsamat tasapinnalist geomeetrilist kujundit. Nende hulknurkade külgede poolt moodustatud perimeetrite sees on tasapinna teatud osa, mille pindala saab määrata mitmel viisil. Meetodi valik igal konkreetsel juhul sõltub jooniste teadaolevatest parameetritest.

Pindala valem on vajalik kujundi pindala määramiseks, mis on reaalväärtuslik funktsioon, mis on defineeritud Eukleidilise tasandi teatud arvude klassis ja mis vastab neljale tingimusele:

1. Positiivsus – pindala ei tohi olla väiksem kui null;
2. Normaliseerimine - küljeühikuga ruudu pindala on 1;
3. Kongruentsus - kongruentsed kujundid on võrdse pindalaga;
4. Aditiivsus - 2 figuuri liidu pindala ilma ühiste sisemiste punktideta võrdub nende kujundite pindalade summaga.

Piirkonna mõiste

Mis tahes geomeetrilise kujundi, eriti kolmnurga pindala mõiste seostatakse sellise kujundiga nagu ruut. Mis tahes geomeetrilise kujundi pindalaühiku jaoks võtame ruudu pindala, mille külg on võrdne ühega. Täielikkuse huvides tuletagem meelde geomeetriliste kujundite pindalade mõiste kaht põhiomadust.

Atribuut 1: Kui geomeetrilised kujundid on võrdsed, on ka nende pindalad võrdsed.

Atribuut 2: Iga figuuri saab jagada mitmeks figuuriks. Veelgi enam, algse joonise pindala on võrdne kõigi selle moodustavate arvude pindalade summaga.

Vaatame näidet.

Näide 1

Ilmselgelt on kolmnurga üks külgedest ristküliku diagonaal, mille ühe külje pikkus on $5$ (kuna seal on $5$ lahtrid) ja teine ​​on $6$ (kuna seal on $6$ lahtreid). Seetõttu on selle kolmnurga pindala võrdne poolega sellisest ristkülikust. Ristküliku pindala on

Siis on kolmnurga pindala võrdne

Vastus: 15 dollarit.

Järgmisena kaalume mitut meetodit kolmnurkade pindalade leidmiseks, nimelt kõrguse ja aluse, Heroni valemi ja võrdkülgse kolmnurga pindala abil.

Kuidas leida kolmnurga pindala selle kõrguse ja aluse abil

1. teoreem

Kolmnurga pindala võib leida poole külje pikkuse ja selle külje kõrguse korrutisest.

Matemaatiliselt näeb see välja selline

$S=\frac(1)(2)αh$

kus $a$ on külje pikkus, $h$ on sellele tõmmatud kõrgus.

Tõestus.

Vaatleme kolmnurka $ABC$, milles $AC=α$. Sellele küljele tõmmatakse kõrgus $BH$, mis võrdub $h$. Ehitame selle kuni ruuduni $AXYC$ nagu joonisel 2.

Ristküliku $AXBH$ pindala on $h\cdot AH$ ja ristküliku $HBYC$ pindala on $h\cdot HC$. Siis

$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$

Seetõttu on kolmnurga nõutav pindala omaduse 2 järgi võrdne

$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$

Teoreem on tõestatud.

Näide 2

Leidke allolevalt jooniselt kolmnurga pindala, kui lahtri pindala on võrdne ühega

Selle kolmnurga alus on võrdne $ 9 $ (kuna $ 9 $ on $ 9 $ ruudud). Kõrgus on ka 9 dollarit. Seejärel saame teoreemi 1 järgi

$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40,5 $

Vastus: 40,5 dollarit.

Heroni valem

2. teoreem

Kui meile on antud kolmnurga kolm külge $α$, $β$ ja $γ$, siis selle pindala leitakse järgmiselt

$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

siin $ρ$ tähendab selle kolmnurga poolperimeetrit.

Tõestus.

Mõelge järgmisele joonisele:

Pythagorase teoreemi järgi saame kolmnurgast $ABH$

Kolmnurgast $CBH$ on Pythagorase teoreemi järgi meil

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

Nendest kahest seosest saame võrdsuse

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$

$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$

$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$

$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$

Kuna $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, siis $α+β+γ=2ρ$, mis tähendab

$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$

$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$

$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$

$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Teoreemi 1 järgi saame

$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Kolmnurga pindala - ülesannete lahendamise valemid ja näited

Allpool on valemid suvalise kolmnurga pindala leidmiseks mis sobivad iga kolmnurga pindala leidmiseks, olenemata selle omadustest, nurkadest või suurustest. Valemid on esitatud pildi kujul, koos selgitustega nende rakendamise kohta või põhjendusega nende õigsuse kohta. Samuti on eraldi joonisel näidatud valemites olevate tähesümbolite ja joonisel olevate graafiliste sümbolite vastavus.

Märge . Kui kolmnurgal on eriomadused (võrdhaarne, ristkülik, võrdkülgne), võite kasutada alltoodud valemeid, aga ka täiendavaid erivalemeid, mis kehtivad ainult nende omadustega kolmnurkade puhul:

• "Võrdkülgse kolmnurga pindala valem"

Kolmnurga pindala valemid

Valemite selgitused:
a, b, c- kolmnurga külgede pikkused, mille pindala tahame leida
r- kolmnurga sisse kirjutatud ringi raadius
R- ümber kolmnurga ümbritsetud ringi raadius
h- küljele langetatud kolmnurga kõrgus
lk- kolmnurga poolperimeeter, 1/2 selle külgede summast (ümbermõõt)
α - kolmnurga külje a vastasnurk
β - kolmnurga külje b vastasnurk
γ - kolmnurga külje c vastas olev nurk
h a, h b , h c- kolmnurga kõrgus on langetatud külgedele a, b, c

Pange tähele, et antud tähised vastavad ülaltoodud joonisele, nii et reaalse geomeetriaülesande lahendamisel on teil visuaalselt lihtsam valemis õigeid väärtusi õigetesse kohtadesse asendada.

• Kolmnurga pindala on pool kolmnurga kõrguse ja selle külje pikkuse korrutisest, mille võrra see kõrgus on langetatud(Vormel 1). Selle valemi õigsust saab mõista loogiliselt. Aluseni langetatud kõrgus jagab suvalise kolmnurga kaheks ristkülikukujuliseks. Kui ehitate igaüks neist ristkülikuks, mille mõõtmed on b ja h, siis ilmselgelt võrdub nende kolmnurkade pindala täpselt poolega ristküliku pindalast (Spr = bh)
• Kolmnurga pindala on pool selle kahe külje ja nendevahelise nurga siinuse korrutisest(Valem 2) (vt näidet ülesande lahendamisest selle valemi abil allpool). Kuigi see tundub eelmisest erinev, saab seda hõlpsasti selleks muuta. Kui alandame kõrgust nurgast B küljele b, siis selgub, et külje a ja nurga γ siinuse korrutis võrdub siinuse omaduste järgi täisnurkses kolmnurgas meie joonistatud kolmnurga kõrgusega. , mis annab meile eelmise valemi
• Suvalise kolmnurga pindala on võimalik leida läbi tööd pool ringi raadiusest, mis on sellesse kantud kõigi selle külgede pikkuste summaga(Valem 3), lihtsalt öeldes, peate korrutama kolmnurga poolperimeetri sisse kirjutatud ringi raadiusega (seda on lihtsam meeles pidada)
• Suvalise kolmnurga pindala saab leida, jagades selle kõigi külgede korrutise selle ümber oleva ringi 4 raadiusega (valem 4)
• Valem 5 on kolmnurga pindala leidmine läbi selle külgede pikkuste ja poolperimeetri (pool kõigi külgede summast)
• Heroni valem(6) on sama valemi esitus ilma poolperimeetri mõistet kasutamata, ainult läbi külgede pikkuste
• Suvalise kolmnurga pindala võrdub kolmnurga külje ruudu ja selle küljega külgnevate nurkade siinuste korrutisega, mis on jagatud selle külje vastasnurga topeltsiinusega (valem 7)
• Suvalise kolmnurga pindala võib leida selle ringi kahe ruudu korrutisena, mis on ümbritsetud selle iga nurga siinustega. (Vormel 8)
• Kui ühe külje pikkus ja kahe külgneva nurga väärtused on teada, saab kolmnurga pindala leida selle külje ruuduna, mis on jagatud nende nurkade kotangentide topeltsummaga (valem 9)
• Kui on teada ainult kolmnurga iga kõrguse pikkus (valem 10), siis on sellise kolmnurga pindala pöördvõrdeline nende kõrguste pikkustega, nagu Heroni valemi järgi
• Valem 11 võimaldab arvutada kolmnurga pindala selle tippude koordinaatide põhjal, mis on iga tipu jaoks määratud kui (x;y) väärtused. Pange tähele, et saadud väärtus tuleb võtta modulo, kuna üksikute (või isegi kõigi) tippude koordinaadid võivad olla negatiivsete väärtuste piirkonnas

Märge. Järgnevalt on toodud näited geomeetriaülesannete lahendamisest kolmnurga pindala leidmiseks. Kui teil on vaja lahendada geomeetria ülesanne, mis pole siin sarnane, kirjutage sellest foorumisse. Lahendustes saab "ruutjuure" sümboli asemel kasutada funktsiooni sqrt(), milles sqrt on ruutjuure sümbol ja radikaalavaldis on märgitud sulgudes.Mõnikord võib sümbolit kasutada lihtsate radikaalsete väljendite jaoks √

Ülesanne. Leidke kahe külje ala ja nendevaheline nurk

Kolmnurga küljed on 5 ja 6 cm Nende vaheline nurk on 60 kraadi. Leidke kolmnurga pindala.

Lahendus.

Selle ülesande lahendamiseks kasutame tunni teoreetilisest osast valemit number kaks.
Kolmnurga pindala võib leida kahe külje pikkuse ja nendevahelise nurga siinuse kaudu ning see on võrdne
S=1/2 ab sin γ

Kuna meil on kõik lahenduseks vajalikud andmed olemas (vastavalt valemile), saame valemis asendada vaid probleemitingimuste väärtused:
S = 1/2 * 5 * 6 * sin 60

Trigonomeetriliste funktsioonide väärtuste tabelist leiame ja asendame avaldisega siinuse väärtuse 60 kraadi. See võrdub kolm korda kahe juurega.
S = 15 √3/2

Vastus: 7,5 √3 (olenevalt õpetaja nõudmistest võid ilmselt jätta 15 √3/2)

Ülesanne. Leidke võrdkülgse kolmnurga pindala

Leidke võrdkülgse kolmnurga pindala, mille külg on 3 cm.

Lahendus.

Kolmnurga pindala saab leida Heroni valemi abil:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

Kuna a = b = c, on võrdkülgse kolmnurga pindala valem järgmine:

S = √3 / 4 * a 2

S = √3 / 4 * 3 2

Vastus: 9 √3 / 4.

Ülesanne. Pindala muutus külgede pikkuse muutmisel

Mitu korda suureneb kolmnurga pindala, kui külgi suurendada 4 korda?

Lahendus.

Kuna kolmnurga külgede mõõtmed on meile teadmata, siis ülesande lahendamiseks eeldame, et külgede pikkused on vastavalt võrdsed suvaliste arvudega a, b, c. Seejärel leiame ülesande küsimusele vastamiseks antud kolmnurga pindala ja seejärel selle kolmnurga pindala, mille küljed on neli korda suuremad. Nende kolmnurkade pindalade suhe annab meile vastuse probleemile.

Allpool anname samm-sammult probleemilahenduse tekstilise selgituse. Päris lõpus esitatakse see sama lahendus aga mugavamal graafilisel kujul. Huvilised saavad kohe lahendused alla minna.

Lahenduseks kasutame Heroni valemit (vt ülalt tunni teoreetilises osas). See näeb välja selline:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(vt allpool oleva pildi esimest rida)

Suvalise kolmnurga külgede pikkused määratakse muutujatega a, b, c.
Kui külgi suurendada 4 korda, on uue kolmnurga c pindala:

S 2 = 1/4 ruutmeetrit ((4a + 4b + 4c) (4b + 4c - 4a) (4a + 4c - 4b) (4a + 4b -4c))
(vt teist rida alloleval pildil)

Nagu näete, on 4 tavaline tegur, mille saab matemaatika üldreeglite järgi kõigist neljast avaldisest sulgudest välja võtta.
Siis

S 2 = 1/4 sqrt (4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c)) - pildi kolmandal real
S 2 = 1/4 sqrt (256 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c)) - neljas rida

Arvu 256 ruutjuur on suurepäraselt eraldatud, nii et võtame selle juure alt välja
S 2 = 16 * 1/4 sqrt ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))
S 2 = 4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(vt alloleva pildi viiendat rida)

Ülesandes esitatud küsimusele vastamiseks peame lihtsalt saadud kolmnurga pindala jagama esialgse kolmnurga pindalaga.
Määrame pindala suhted, jagades avaldised üksteisega ja vähendades saadud murdosa.

Piirkonna mõiste

Mis tahes geomeetrilise kujundi, eriti kolmnurga pindala mõiste seostatakse sellise kujundiga nagu ruut. Mis tahes geomeetrilise kujundi pindalaühiku jaoks võtame ruudu pindala, mille külg on võrdne ühega. Täielikkuse huvides tuletagem meelde geomeetriliste kujundite pindalade mõiste kaht põhiomadust.

Atribuut 1: Kui geomeetrilised kujundid on võrdsed, on ka nende pindalad võrdsed.

Atribuut 2: Iga figuuri saab jagada mitmeks figuuriks. Veelgi enam, algse joonise pindala on võrdne kõigi selle moodustavate arvude pindalade summaga.

Vaatame näidet.

Näide 1

Ilmselgelt on kolmnurga üks külgedest ristküliku diagonaal, mille ühe külje pikkus on $5$ (kuna seal on $5$ lahtrid) ja teine ​​on $6$ (kuna seal on $6$ lahtreid). Seetõttu on selle kolmnurga pindala võrdne poolega sellisest ristkülikust. Ristküliku pindala on

Siis on kolmnurga pindala võrdne

Vastus: 15 dollarit.

Järgmisena kaalume mitut meetodit kolmnurkade pindalade leidmiseks, nimelt kõrguse ja aluse, Heroni valemi ja võrdkülgse kolmnurga pindala abil.

Kuidas leida kolmnurga pindala selle kõrguse ja aluse abil

1. teoreem

Kolmnurga pindala võib leida poole külje pikkuse ja selle külje kõrguse korrutisest.

Matemaatiliselt näeb see välja selline

$S=\frac(1)(2)αh$

kus $a$ on külje pikkus, $h$ on sellele tõmmatud kõrgus.

Tõestus.

Vaatleme kolmnurka $ABC$, milles $AC=α$. Sellele küljele tõmmatakse kõrgus $BH$, mis võrdub $h$. Ehitame selle kuni ruuduni $AXYC$ nagu joonisel 2.

Ristküliku $AXBH$ pindala on $h\cdot AH$ ja ristküliku $HBYC$ pindala on $h\cdot HC$. Siis

$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$

Seetõttu on kolmnurga nõutav pindala omaduse 2 järgi võrdne

$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$

Teoreem on tõestatud.

Näide 2

Leidke allolevalt jooniselt kolmnurga pindala, kui lahtri pindala on võrdne ühega

Selle kolmnurga alus on võrdne $ 9 $ (kuna $ 9 $ on $ 9 $ ruudud). Kõrgus on ka 9 dollarit. Seejärel saame teoreemi 1 järgi

$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40,5 $

Vastus: 40,5 dollarit.

Heroni valem

2. teoreem

Kui meile on antud kolmnurga kolm külge $α$, $β$ ja $γ$, siis selle pindala leitakse järgmiselt

$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

siin $ρ$ tähendab selle kolmnurga poolperimeetrit.

Tõestus.

Mõelge järgmisele joonisele:

Pythagorase teoreemi järgi saame kolmnurgast $ABH$

Kolmnurgast $CBH$ on Pythagorase teoreemi järgi meil

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

Nendest kahest seosest saame võrdsuse

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$

$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$

$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$

$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$

Kuna $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, siis $α+β+γ=2ρ$, mis tähendab

$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$

$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$

$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$

$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Teoreemi 1 järgi saame

$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$