După cum urmează:

S = ½ * a * h,

Unde:
S – aria triunghiului,
a este lungimea laturii sale,
h este înălțimea coborâtă în această parte.

Lungimea laterală și înălțimea trebuie prezentate în aceleași unități de măsură. În acest caz, aria triunghiului va fi obținută în unitățile „ ” corespunzătoare.

Exemplu.
Pe o parte a unui triunghi scalen de 20 cm lungime, se coboară o perpendiculară de la vârful opus de 10 cm lungime.
Este necesară aria triunghiului.
Soluţie.
S = ½ * 20 * 10 = 100 (cm²).

Dacă sunt cunoscute lungimile oricăror două laturi ale unui triunghi scalen și unghiul dintre ele, atunci utilizați formula:

S = ½ * a * b * sinγ,

unde: a, b sunt lungimile a două laturi arbitrare, iar γ este valoarea unghiului dintre ele.

În practică, de exemplu, atunci când se măsoară suprafața de teren, utilizarea formulelor de mai sus este uneori dificilă, deoarece necesită construcție suplimentară și măsurarea unghiurilor.

Dacă cunoașteți lungimile tuturor celor trei laturi ale unui triunghi scalen, atunci utilizați formula lui Heron:

S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)),

a, b, c – lungimile laturilor triunghiului,
p – semiperimetru: p = (a+b+c)/2.

Dacă, pe lângă lungimile tuturor laturilor, este cunoscută raza cercului înscris în triunghi, atunci utilizați următoarea formulă compactă:

unde: r – raza cercului înscris (р – semiperimetrul).

Pentru a calcula aria unui triunghi scalen folosind raza cercului circumferitor și lungimea laturilor sale, utilizați formula:

unde: R – raza cercului circumscris.

Dacă lungimea uneia dintre laturile triunghiului și valorile celor trei unghiuri sunt cunoscute (în principiu, două sunt suficiente - valoarea celui de-al treilea se calculează din egalitatea sumei celor trei unghiuri ale triunghiului - 180º), apoi utilizați formula:

S = (a² * sinβ * sinγ)/2sinα,

unde α este valoarea unghiului opus laturii a;
β, γ – valorile celor două unghiuri rămase ale triunghiului.

Un triunghi regulat este un triunghi cu trei laturi egale. Are următoarele proprietăți: toate laturile unui triunghi obișnuit sunt egale între ele și toate unghiurile sunt egale cu 60 de grade. Un triunghi regulat este isoscel.

Vei avea nevoie

• Cunoștințe de geometrie.

Instrucțiuni

Să fie dată o latură a unui triunghi regulat cu lungimea a=7. Cunoscând latura unui astfel de triunghi, puteți calcula cu ușurință aria acestuia. Pentru aceasta se utilizează următoarele: S = (3^(1/2)*a^2)/4. Să înlocuim valoarea a=7 în această formulă și să obținem următoarele: S = (7*7*3^1/2)/4 = 49 * 1,7 / 4 = 20,82. Astfel, am constatat că aria unui triunghi echilateral cu latura a=7 este egală cu S=20,82.

Dacă este dată raza cercului, va arăta astfel:
S = 3*3^(1/2)*r^2, unde r este raza cercului înscris. Fie raza cercului înscris r=4. Să o înlocuim în formula scrisă mai devreme și să obținem următoarea expresie: S = 3*1,7*4*4 = 81,6. Adică, dacă raza cercului înscris este egală cu 4, aria triunghiului echilateral va fi egală cu 81,6.

Cu o rază cunoscută a cercului circumscris, formula pentru aria unui triunghi arată astfel: S = 3*3^(1/2)*R^2/4, unde R este raza cercului circumscris . Să presupunem că R=5, înlocuiți această valoare în formula: S = 3*1,7*25/4 = 31,9. Se pare că, cu o rază a cercului circumscris egală cu 5, aria triunghiului este de 31,9.

Notă

Aria unui triunghi este întotdeauna pozitivă, la fel ca lungimea unei laturi a unui triunghi și razele cercurilor înscrise și circumscrise.

Sfaturi utile

Raza cercurilor înscrise și circumscrise într-un triunghi echilateral diferă cu un factor de doi, știind acest lucru, vă puteți aminti doar o singură formulă, de exemplu, prin raza cercului înscris, și obțineți a doua, cunoscând această afirmație.

Dacă lungimea uneia dintre laturile unui triunghi și valorile unghiurilor adiacente sunt cunoscute, aria sa poate fi calculată în mai multe moduri. Fiecare dintre formulele de calcul implică utilizarea funcțiilor trigonometrice, dar acest lucru nu ar trebui să fie intimidant - pentru a le calcula, este suficient să aveți acces la Internet, ca să nu mai vorbim de prezența unui calculator încorporat în sistemul de operare.

Instrucțiuni

Prima opțiune pentru calcularea ariei (S) din lungimea cunoscută a uneia dintre laturile (A) și a valorilor unghiurilor adiacente (α și β) implică calcularea acestor unghiuri. Aria în acest caz va fi pătratul lungimii laturii cunoscute, împărțit la două ori cotangentele unghiurilor cunoscute: S = A*A/(2*(ctg(α)+ctg(β))). De exemplu, dacă lungimea unei laturi cunoscute este de 15 cm, iar unghiurile adiacente sunt 40° și 60°, atunci calculul ariei va arăta astfel: 15*15/(2*(ctg(40)+ctg(60) ))) = 225/(2*(-0,895082918+3,12460562)) = 225/4,4590454 = 50,4592305 centimetri pătrați.

A doua opțiune pentru calcularea ariei folosește sinusuri ale unghiurilor cunoscute în loc de cotangente. În această versiune, aria este egală cu pătratul lungimii laturii cunoscute, înmulțit cu sinusurile fiecărui unghi și împărțit la dublu sinusul sumei acestor unghiuri: S = A*A*sin(α )*sin(β)/(2*sin(α + β)). De exemplu, pentru același triunghi cu o latură cunoscută de 15 cm și unghiuri adiacente de 40° și 60°, calculul ariei va arăta astfel: (15*15*sin(40)*sin(60))/( 2* sin(40+60)) = 225*0,74511316*(-0,304810621)/(2*(-0,506365641)) = -51,1016411/-1,01273128 = 50,4592305 centimetri pătrați.

A treia opțiune pentru calcularea ariei unui triunghi folosește tangentele unghiurilor. Aria va fi egală cu pătratul lungimii laturii cunoscute, înmulțit cu tangentele fiecăruia dintre unghiuri și împărțit la dublul sumei tangentelor acestor unghiuri: S = A*A*tg(α)*tg (p)/2(tg(a)+tg(p)). De exemplu, pentru un triunghi folosit în pașii anteriori cu latura de 15 cm și unghiuri adiacente de 40° și 60°, calculul ariei va arăta astfel: (15*15*tg(40)*tg(60) ))/(2*(tg (40)+tg(60)) = (225*(-1,11721493)*0,320040389)/(2*(-1,11721493+0,320040389))) = -80,4496275 = -80,4496274/5496274/549620 = 545/5490. centimetri.

Se pot face calcule practice, de exemplu, folosind calculatorul motorului de căutare Google. Pentru a face acest lucru, trebuie doar să înlocuiți valorile numerice în formule și să le introduceți în câmpul de căutare.

Sfat 4: Cum să găsiți aria unui triunghi și a unui dreptunghi

Triunghiul și dreptunghiul sunt cele mai simple două figuri geometrice plane din geometria euclidiană. În interiorul perimetrelor formate de laturile acestor poligoane, există o anumită secțiune a planului, a cărei zonă poate fi determinată în mai multe moduri. Alegerea metodei în fiecare caz specific va depinde de parametrii cunoscuți ai figurilor.

Formula zonei este necesar să se determine aria unei figuri, care este o funcție cu valoare reală definită pe o anumită clasă de figuri din planul euclidian și care îndeplinește 4 condiții:

1. Pozitivitate - Zona nu poate fi mai mică de zero;
2. Normalizare - un pătrat cu unitate laterală are aria 1;
3. Congruență - figurile congruente au aria egală;
4. Aditivitate - aria unirii a 2 figuri fără puncte interne comune este egală cu suma ariilor acestor cifre.

Conceptul de zonă

Conceptul de zonă a oricărei figuri geometrice, în special a unui triunghi, va fi asociat cu o figură, cum ar fi un pătrat. Pentru unitatea de suprafață a oricărei figuri geometrice vom lua aria unui pătrat a cărui latură este egală cu unu. Pentru a fi complet, să ne amintim două proprietăți de bază pentru conceptul de zone ale figurilor geometrice.

Proprietatea 1: Dacă figurile geometrice sunt egale, atunci și zonele lor sunt egale.

Proprietatea 2: Orice figură poate fi împărțită în mai multe figuri. În plus, aria figurii originale este egală cu suma ariilor tuturor figurilor sale constitutive.

Să ne uităm la un exemplu.

Exemplul 1

Evident, una dintre laturile triunghiului este o diagonală a unui dreptunghi, a cărui latură are o lungime de $5$ (deoarece există $5$ celule), iar cealaltă este $6$ (deoarece există $6$ celule). Prin urmare, aria acestui triunghi va fi egală cu jumătate dintr-un astfel de dreptunghi. Aria dreptunghiului este

Atunci aria triunghiului este egală cu

Răspuns: $15$.

În continuare, vom lua în considerare mai multe metode pentru găsirea ariilor triunghiurilor, și anume folosind înălțimea și baza, folosind formula lui Heron și aria unui triunghi echilateral.

Cum să găsiți aria unui triunghi folosind înălțimea și baza acestuia

Teorema 1

Aria unui triunghi poate fi găsită ca jumătate din produsul lungimii unei laturi și înălțimii acelei laturi.

Matematic arată așa

$S=\frac(1)(2)αh$

unde $a$ este lungimea laturii, $h$ este înălțimea trasă la ea.

Dovada.

Să considerăm un triunghi $ABC$ în care $AC=α$. Înălțimea $BH$ este trasă în această parte, care este egală cu $h$. Să-l construim până la pătratul $AXYC$ ca în Figura 2.

Aria dreptunghiului $AXBH$ este $h\cdot AH$, iar aria dreptunghiului $HBYC$ este $h\cdot HC$. Apoi

$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$

Prin urmare, aria necesară a triunghiului, după proprietatea 2, este egală cu

$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$

Teorema a fost demonstrată.

Exemplul 2

Găsiți aria triunghiului din figura de mai jos dacă celula are o zonă egală cu unu

Baza acestui triunghi este egală cu $9$ (deoarece $9$ reprezintă $9$ pătrate). Înălțimea este de asemenea de 9 USD. Apoi, prin teorema 1, obținem

$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40.5$

Răspuns: 40,5 USD.

Formula lui Heron

Teorema 2

Dacă ni se dau trei laturi ale unui triunghi $α$, $β$ și $γ$, atunci aria acestuia poate fi găsită după cum urmează

$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

aici $ρ$ înseamnă semiperimetrul acestui triunghi.

Dovada.

Luați în considerare următoarea figură:

Prin teorema lui Pitagora, din triunghiul $ABH$ obtinem

Din triunghiul $CBH$, conform teoremei lui Pitagora, avem

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

Din aceste două relații obținem egalitatea

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$

$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$

$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$

$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$

Deoarece $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, atunci $α+β+γ=2ρ$, ceea ce înseamnă

$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$

$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$

$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$

$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Prin teorema 1, obținem

$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Aria unui triunghi - formule și exemple de rezolvare a problemelor

Mai jos sunt formule pentru găsirea ariei unui triunghi arbitrar care sunt potrivite pentru găsirea ariei oricărui triunghi, indiferent de proprietățile, unghiurile sau dimensiunile acestuia. Formulele sunt prezentate sub forma unei imagini, cu explicații pentru aplicarea lor sau justificarea corectitudinii lor. De asemenea, o figură separată arată corespondența dintre simbolurile literelor din formule și simbolurile grafice din desen.

Notă . Dacă triunghiul are proprietăți speciale (izoscel, dreptunghiular, echilateral), puteți folosi formulele de mai jos, precum și formule speciale suplimentare care sunt valabile numai pentru triunghiuri cu aceste proprietăți:

• „Formula pentru aria unui triunghi echilateral”

Formulele ariei triunghiulare

Explicații pentru formule:
a, b, c- lungimile laturilor triunghiului a cărui arie dorim să aflăm
r- raza cercului înscris în triunghi
R- raza cercului circumscris triunghiului
h- inaltimea triunghiului coborat lateral
p- semiperimetrul unui triunghi, 1/2 din suma laturilor acestuia (perimetrul)
α - unghi opus laturii a a triunghiului
β - unghi opus laturii b a triunghiului
γ - unghi opus laturii c a triunghiului
h A, h b , h c- înălțimea triunghiului coborât la laturile a, b, c

Vă rugăm să rețineți că notațiile date corespund figurii de mai sus, astfel încât atunci când rezolvați o problemă de geometrie reală, vă va fi mai ușor din punct de vedere vizual să înlocuiți valorile corecte în locurile potrivite din formulă.

• Aria triunghiului este jumătate din produsul înălțimii triunghiului și lungimea laturii cu care se coboară această înălțime(Formula 1). Corectitudinea acestei formule poate fi înțeleasă logic. Înălțimea coborâtă la bază va împărți un triunghi arbitrar în două dreptunghiulare. Dacă construiți fiecare dintre ele într-un dreptunghi cu dimensiunile b și h, atunci, evident, aria acestor triunghiuri va fi egală cu exact jumătate din aria dreptunghiului (Spr = bh)
• Aria triunghiului este jumătate din produsul celor două laturi ale sale și sinusul unghiului dintre ele(Formula 2) (vezi un exemplu de rezolvare a unei probleme folosind această formulă mai jos). Chiar dacă pare diferit de precedentul, poate fi ușor transformat în el. Dacă coborâm înălțimea de la unghiul B la latura b, rezultă că produsul laturii a și sinusul unghiului γ, conform proprietăților sinusului într-un triunghi dreptunghic, este egal cu înălțimea triunghiului pe care l-am desenat. , care ne oferă formula anterioară
• Aria unui triunghi arbitrar poate fi găsită prin muncă jumătate din raza cercului înscris în el prin suma lungimilor tuturor laturilor sale(Formula 3), pur și simplu, trebuie să înmulțiți semiperimetrul triunghiului cu raza cercului înscris (acest lucru este mai ușor de reținut)
• Aria unui triunghi arbitrar poate fi găsită prin împărțirea produsului tuturor laturilor sale la 4 raze ale cercului circumscris în jurul lui (Formula 4)
• Formula 5 este găsirea aria unui triunghi prin lungimile laturilor și semiperimetrului său (jumătate din suma tuturor laturilor sale)
• Formula lui Heron(6) este o reprezentare a aceleiași formule fără a folosi conceptul de semiperimetru, doar prin lungimile laturilor
• Aria unui triunghi arbitrar este egală cu produsul dintre pătratul laturii triunghiului și sinusurile unghiurilor adiacente acestei laturi împărțit la sinusul dublu al unghiului opus acestei laturi (Formula 7)
• Aria unui triunghi arbitrar poate fi găsită ca produsul a două pătrate ale cercului circumscris în jurul lui de sinusurile fiecăruia dintre unghiurile sale. (Formula 8)
• Dacă lungimea unei laturi și valorile a două unghiuri adiacente sunt cunoscute, atunci aria triunghiului poate fi găsită ca pătratul acestei laturi împărțit la suma dublă a cotangentelor acestor unghiuri (Formula 9)
• Dacă se cunoaște numai lungimea fiecărei înălțimi ale triunghiului (Formula 10), atunci aria unui astfel de triunghi este invers proporțională cu lungimile acestor înălțimi, așa cum se arată în formula lui Heron.
• Formula 11 vă permite să calculați aria unui triunghi bazată pe coordonatele vârfurilor sale, care sunt specificate ca valori (x;y) pentru fiecare dintre vârfuri. Vă rugăm să rețineți că valoarea rezultată trebuie luată modulo, deoarece coordonatele vârfurilor individuale (sau chiar ale tuturor) pot fi în regiunea valorilor negative.

Notă. Următoarele sunt exemple de rezolvare a problemelor de geometrie pentru a găsi aria unui triunghi. Dacă trebuie să rezolvați o problemă de geometrie care nu este similară aici, scrieți despre ea pe forum. În soluții, în locul simbolului „rădăcină pătrată”, se poate folosi funcția sqrt(), în care sqrt este simbolul rădăcinii pătrate, iar expresia radicalului este indicată în paranteze.Uneori, pentru expresii radicale simple, simbolul poate fi folosit √

Sarcină. Aflați aria dată celor două laturi și unghiul dintre ele

Laturile triunghiului sunt de 5 si 6 cm.Unghiul dintre ele este de 60 de grade. Găsiți aria triunghiului.

Soluţie.

Pentru a rezolva această problemă, folosim formula numărul doi din partea teoretică a lecției.
Aria unui triunghi poate fi găsită prin lungimile a două laturi și sinusul unghiului dintre ele și va fi egală cu
S=1/2 ab sin γ

Deoarece avem toate datele necesare pentru rezolvare (conform formulei), putem înlocui doar valorile din condițiile problemei în formula:
S = 1/2 * 5 * 6 * sin 60

În tabelul de valori ale funcțiilor trigonometrice, vom găsi și înlocui valoarea sinusului 60 de grade în expresie. Va fi egal cu rădăcina de trei ori doi.
S = 15 √3 / 2

Răspuns: 7,5 √3 (în funcție de cerințele profesorului, probabil că puteți lăsa 15 √3/2)

Sarcină. Aflați aria unui triunghi echilateral

Aflați aria unui triunghi echilateral cu latura de 3 cm.

Soluție.

Aria unui triunghi poate fi găsită folosind formula lui Heron:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

Deoarece a = b = c, formula pentru aria unui triunghi echilateral ia forma:

S = √3 / 4 * a 2

S = √3 / 4 * 3 2

Răspuns: 9 √3 / 4.

Sarcină. Schimbarea suprafeței la modificarea lungimii laturilor

De câte ori va crește aria triunghiului dacă laturile sunt mărite de 4 ori?

Soluţie.

Deoarece dimensiunile laturilor triunghiului ne sunt necunoscute, pentru a rezolva problema vom presupune că lungimile laturilor sunt, respectiv, egale cu numerele arbitrare a, b, c. Apoi, pentru a răspunde la întrebarea problemei, vom găsi aria triunghiului dat, iar apoi vom găsi aria triunghiului ale cărui laturi sunt de patru ori mai mari. Raportul dintre ariile acestor triunghiuri ne va oferi răspunsul la problemă.

Mai jos oferim o explicație textuală a soluției problemei pas cu pas. Cu toate acestea, la final, aceeași soluție este prezentată într-o formă grafică mai convenabilă. Cei interesați pot coborî imediat soluțiile.

Pentru a rezolva, folosim formula lui Heron (vezi mai sus în partea teoretică a lecției). Arata cam asa:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(vezi prima linie a imaginii de mai jos)

Lungimile laturilor unui triunghi arbitrar sunt specificate de variabilele a, b, c.
Dacă laturile sunt mărite de 4 ori, atunci aria noului triunghi c va fi:

S 2 = 1/4 pătrat((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(vezi a doua linie din imaginea de mai jos)

După cum puteți vedea, 4 este un factor comun care poate fi scos din paranteze din toate cele patru expresii conform regulilor generale ale matematicii.
Apoi

S 2 = 1/4 sqrt(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - pe a treia linie a imaginii
S 2 = 1/4 sqrt(256 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - a patra linie

Rădăcina pătrată a numărului 256 este extrasă perfect, așa că hai să o scoatem de sub rădăcină
S 2 = 16 * 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(vezi al cincilea rând al imaginii de mai jos)

Pentru a răspunde la întrebarea pusă în problemă, trebuie doar să împărțim aria triunghiului rezultat cu aria celui original.
Să determinăm rapoartele ariei împărțind expresiile între ele și reducând fracția rezultată.

Conceptul de zonă

Conceptul de zonă a oricărei figuri geometrice, în special a unui triunghi, va fi asociat cu o figură, cum ar fi un pătrat. Pentru unitatea de suprafață a oricărei figuri geometrice vom lua aria unui pătrat a cărui latură este egală cu unu. Pentru a fi complet, să ne amintim două proprietăți de bază pentru conceptul de zone ale figurilor geometrice.

Proprietatea 1: Dacă figurile geometrice sunt egale, atunci și zonele lor sunt egale.

Proprietatea 2: Orice figură poate fi împărțită în mai multe figuri. În plus, aria figurii originale este egală cu suma ariilor tuturor figurilor sale constitutive.

Să ne uităm la un exemplu.

Exemplul 1

Evident, una dintre laturile triunghiului este o diagonală a unui dreptunghi, a cărui latură are o lungime de $5$ (deoarece există $5$ celule), iar cealaltă este $6$ (deoarece există $6$ celule). Prin urmare, aria acestui triunghi va fi egală cu jumătate dintr-un astfel de dreptunghi. Aria dreptunghiului este

Atunci aria triunghiului este egală cu

Răspuns: $15$.

În continuare, vom lua în considerare mai multe metode pentru găsirea ariilor triunghiurilor, și anume folosind înălțimea și baza, folosind formula lui Heron și aria unui triunghi echilateral.

Cum să găsiți aria unui triunghi folosind înălțimea și baza acestuia

Teorema 1

Aria unui triunghi poate fi găsită ca jumătate din produsul lungimii unei laturi și înălțimii acelei laturi.

Matematic arată așa

$S=\frac(1)(2)αh$

unde $a$ este lungimea laturii, $h$ este înălțimea trasă la ea.

Dovada.

Să considerăm un triunghi $ABC$ în care $AC=α$. Înălțimea $BH$ este trasă în această parte, care este egală cu $h$. Să-l construim până la pătratul $AXYC$ ca în Figura 2.

Aria dreptunghiului $AXBH$ este $h\cdot AH$, iar aria dreptunghiului $HBYC$ este $h\cdot HC$. Apoi

$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$

Prin urmare, aria necesară a triunghiului, după proprietatea 2, este egală cu

$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$

Teorema a fost demonstrată.

Exemplul 2

Găsiți aria triunghiului din figura de mai jos dacă celula are o zonă egală cu unu

Baza acestui triunghi este egală cu $9$ (deoarece $9$ reprezintă $9$ pătrate). Înălțimea este de asemenea de 9 USD. Apoi, prin teorema 1, obținem

$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40.5$

Răspuns: 40,5 USD.

Formula lui Heron

Teorema 2

Dacă ni se dau trei laturi ale unui triunghi $α$, $β$ și $γ$, atunci aria acestuia poate fi găsită după cum urmează

$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

aici $ρ$ înseamnă semiperimetrul acestui triunghi.

Dovada.

Luați în considerare următoarea figură:

Prin teorema lui Pitagora, din triunghiul $ABH$ obtinem

Din triunghiul $CBH$, conform teoremei lui Pitagora, avem

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

Din aceste două relații obținem egalitatea

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$

$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$

$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$

$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$

Deoarece $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, atunci $α+β+γ=2ρ$, ceea ce înseamnă

$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$

$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$

$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$

$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Prin teorema 1, obținem

$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$