ดังนี้:

S = ½ * a * h,

ที่ไหน:
S – พื้นที่ของสามเหลี่ยม
a คือความยาวของด้านของมัน
h คือความสูงที่ลดลงมาทางด้านนี้

ความยาวและความสูงของด้านต้องแสดงอยู่ในหน่วยวัดเดียวกัน ในกรณีนี้จะได้พื้นที่ของสามเหลี่ยมในหน่วย " " ที่สอดคล้องกัน

ตัวอย่าง.
ด้านหนึ่งของสามเหลี่ยมด้านไม่เท่ายาว 20 ซม. ตั้งฉากกับจุดยอดตรงข้ามที่ยาว 10 ซม. จะลดลง
ต้องการพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม
สารละลาย.
S = ½ * 20 * 10 = 100 (ซม. ²)

หากทราบความยาวของด้านสองด้านของสามเหลี่ยมด้านไม่เท่ากันและมุมระหว่างด้านทั้งสองนั้น ให้ใช้สูตร:

S = ½ * a * b * sinγ,

โดยที่: a, b คือความยาวของด้านใดก็ได้ที่ต้องการ และ γ คือค่าของมุมระหว่างด้านทั้งสอง

ตัวอย่างเช่นในทางปฏิบัติเมื่อทำการวัดพื้นที่การใช้สูตรข้างต้นบางครั้งอาจทำได้ยากเนื่องจากต้องมีการก่อสร้างและการวัดมุมเพิ่มเติม

หากคุณทราบความยาวของด้านทั้งสามด้านของสามเหลี่ยมด้านไม่เท่า ให้ใช้สูตรของเฮรอน:

S = √(p(p-a)(p-b)(p-c))

a, b, c คือความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยม
p – กึ่งเส้นรอบรูป: p = (a+b+c)/2

นอกจากความยาวของทุกด้านแล้ว หากทราบรัศมีของวงกลมที่อยู่ภายในสามเหลี่ยม ให้ใช้สูตรกระทัดรัดต่อไปนี้

โดยที่: r – รัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ (р – กึ่งปริมณฑล)

ในการคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมด้านไม่เท่าโดยใช้รัศมีของเส้นรอบวงวงกลมและความยาวของด้าน ให้ใช้สูตร:

โดยที่: R – รัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบ

หากทราบความยาวของด้านใดด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมและค่าของมุมทั้งสาม (โดยหลักการแล้วสองมุมก็เพียงพอแล้ว - ค่าของด้านที่สามจะคำนวณจากความเท่าเทียมกันของผลรวมของมุมทั้งสามของรูปสามเหลี่ยม - 180°) จากนั้นใช้สูตร:

S = (a² * sinβ * sinγ)/2sinα,

โดยที่ α คือค่าของมุมตรงข้ามกับด้าน a;
β, γ – ค่าของสองมุมที่เหลือของรูปสามเหลี่ยม

สามเหลี่ยมปกติคือสามเหลี่ยมที่มีด้านเท่ากันสามด้าน มันมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้: ทุกด้านของสามเหลี่ยมปกติจะเท่ากัน และทุกมุมจะเท่ากับ 60 องศา สามเหลี่ยมปกติคือหน้าจั่ว

คุณจะต้องการ

• ความรู้เรื่องเรขาคณิต

คำแนะนำ

ให้ด้านหนึ่งของสามเหลี่ยมปกติที่มีความยาว a=7 เมื่อทราบด้านของสามเหลี่ยมดังกล่าวแล้ว คุณก็สามารถคำนวณพื้นที่ของมันได้อย่างง่ายดาย สำหรับสิ่งนี้ จะใช้สิ่งต่อไปนี้: S = (3^(1/2)*a^2)/4 ลองแทนค่า a=7 ลงในสูตรนี้แล้วได้ค่าต่อไปนี้: S = (7*7*3^1/2)/4 = 49 * 1.7 / 4 = 20.82 ดังนั้นเราจึงพบว่าพื้นที่ของสามเหลี่ยมด้านเท่าที่มีด้าน a=7 เท่ากับ S=20.82

ถ้ากำหนดรัศมีของวงกลมไว้ จะได้ดังนี้:
S = 3*3^(1/2)*r^2 โดยที่ r คือรัศมีของวงกลมที่อยู่ภายใน ให้รัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้เป็น r=4 ลองแทนที่มันลงในสูตรที่เขียนไว้ก่อนหน้านี้แล้วได้นิพจน์ต่อไปนี้: S = 3*1.7*4*4 = 81.6 นั่นคือถ้ารัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้เท่ากับ 4 พื้นที่ของสามเหลี่ยมด้านเท่าจะเท่ากับ 81.6

ด้วยรัศมีที่ทราบของวงกลมวงใน สูตรสำหรับพื้นที่ของสามเหลี่ยมมีลักษณะดังนี้: S = 3*3^(1/2)*R^2/4 โดยที่ R คือรัศมีของวงกลมวงใน . สมมติว่า R=5 แทนค่านี้ลงในสูตร: S = 3*1.7*25/4 = 31.9 ปรากฎว่าเมื่อรัศมีของวงกลมมีขอบเขตเท่ากับ 5 พื้นที่ของสามเหลี่ยมจะเท่ากับ 31.9

บันทึก

พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมจะเป็นค่าบวกเสมอ เช่นเดียวกับความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยมและรัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้และวงกลมที่ล้อมรอบไว้

คำแนะนำที่เป็นประโยชน์

รัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้และวงกลมที่ถูก จำกัด ไว้ในรูปสามเหลี่ยมด้านเท่านั้นแตกต่างกันด้วยปัจจัยสองเมื่อรู้สิ่งนี้คุณสามารถจำสูตรได้เพียงสูตรเดียวเช่นผ่านรัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้และหาสูตรที่สองโดยรู้ข้อความนี้

หากทราบความยาวของด้านใดด้านหนึ่งของสามเหลี่ยมและค่าของมุมที่อยู่ติดกัน ก็สามารถคำนวณพื้นที่ได้หลายวิธี สูตรการคำนวณแต่ละสูตรเกี่ยวข้องกับการใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติ แต่สิ่งนี้ไม่ควรน่ากลัว - ในการคำนวณก็เพียงพอแล้วที่จะเข้าถึงอินเทอร์เน็ตไม่ต้องพูดถึงการมีเครื่องคิดเลขในตัวในระบบปฏิบัติการ

คำแนะนำ

ตัวเลือกแรกสำหรับการคำนวณพื้นที่ (S) จากความยาวที่ทราบของด้านใดด้านหนึ่ง (A) และค่าของมุมที่อยู่ติดกัน (α และ β) เกี่ยวข้องกับการคำนวณมุมเหล่านี้ พื้นที่ในกรณีนี้จะเป็นกำลังสองของความยาวของด้านที่ทราบ หารด้วยสองเท่าของโคแทนเจนต์ของมุมที่ทราบ: S = A*A/(2*(ctg(α)+ctg(β))) ตัวอย่างเช่น หากความยาวของด้านที่ทราบคือ 15 ซม. และมุมที่อยู่ติดกันคือ 40° และ 60° การคำนวณพื้นที่จะมีลักษณะดังนี้: 15*15/(2*(ctg(40)+ctg(60) ))) = 225/(2*(-0.895082918+3.12460562)) = 225/4.4590454 = 50.4592305 ตารางเซนติเมตร

ตัวเลือกที่สองสำหรับการคำนวณพื้นที่จะใช้ไซน์ของมุมที่ทราบแทนโคแทนเจนต์ ในเวอร์ชันนี้ พื้นที่จะเท่ากับกำลังสองของความยาวของด้านที่ทราบ คูณด้วยไซน์ของแต่ละมุมแล้วหารด้วยสองเท่าของไซน์ของผลรวมของมุมเหล่านี้: S = A*A*sin(α )*บาป(β)/(2*บาป(α + β) ) ตัวอย่างเช่น สำหรับสามเหลี่ยมเดียวกันซึ่งมีด้านที่ทราบ 15 ซม. และมุมประชิด 40° และ 60° การคำนวณพื้นที่จะมีลักษณะดังนี้: (15*15*sin(40)*sin(60))/( 2* บาป(40+60)) = 225*0.74511316*(-0.304810621)/(2*(-0.506365641)) = -51.1016411/-1.01273128 = 50.4592305 ตารางเซนติเมตร

ตัวเลือกที่สามสำหรับการคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมจะใช้ค่าแทนเจนต์ของมุม พื้นที่จะเท่ากับกำลังสองของความยาวของด้านที่ทราบ คูณด้วยแทนเจนต์ของแต่ละมุมแล้วหารด้วยผลรวมสองเท่าของแทนเจนต์ของมุมเหล่านี้: S = A*A*tg(α)*tg (β)/2(tg(α)+tg(β) ) ตัวอย่างเช่น สำหรับสามเหลี่ยมที่ใช้ในขั้นตอนก่อนหน้าโดยมีด้านยาว 15 ซม. และมุมประชิด 40° และ 60° การคำนวณพื้นที่จะมีลักษณะดังนี้: (15*15*tg(40)*tg(60) ))/(2*(tg (40)+tg(60)) = (225*(-1.11721493)*0.320040389)/(2*(-1.11721493+0.320040389)) = -80.4496277/-1.59434908 = 50.4592305 ตารางเซนติเมตร .

การคำนวณเชิงปฏิบัติสามารถทำได้โดยใช้เครื่องคิดเลขของเครื่องมือค้นหาของ Google ในการดำเนินการนี้เพียงแทนที่ค่าตัวเลขลงในสูตรแล้วป้อนลงในช่องค้นหา

เคล็ดลับ 4: วิธีหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมและสี่เหลี่ยม

สามเหลี่ยมและสี่เหลี่ยมผืนผ้าเป็นรูปทรงเรขาคณิตระนาบที่ง่ายที่สุดสองแบบในเรขาคณิตแบบยุคลิด ภายในเส้นรอบวงที่เกิดจากด้านข้างของรูปหลายเหลี่ยมเหล่านี้ มีบางส่วนของระนาบ ซึ่งสามารถกำหนดพื้นที่ได้หลายวิธี. การเลือกวิธีการในแต่ละกรณีจะขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ที่ทราบของตัวเลข

สูตรพื้นที่จำเป็นในการกำหนดพื้นที่ของรูปซึ่งเป็นฟังก์ชันมูลค่าจริงที่กำหนดไว้ในประเภทของตัวเลขบางประเภทในระนาบยุคลิดและเป็นไปตามเงื่อนไข 4 ข้อ:

1. แง่บวก - พื้นที่ต้องไม่น้อยกว่าศูนย์
2. การทำให้เป็นมาตรฐาน - สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีหน่วยด้านข้างมีพื้นที่ 1
3. ความสอดคล้อง - ตัวเลขที่เท่ากันมีพื้นที่เท่ากัน
4. บวก - พื้นที่ของการรวมกันของ 2 ตัวเลขที่ไม่มีจุดภายในร่วมจะเท่ากับผลรวมของพื้นที่ของตัวเลขเหล่านี้

แนวคิดของพื้นที่

แนวคิดเรื่องพื้นที่ของรูปทรงเรขาคณิตใดๆ โดยเฉพาะรูปสามเหลี่ยมจะสัมพันธ์กับรูปเช่นสี่เหลี่ยมจัตุรัส สำหรับพื้นที่หน่วยของรูปทรงเรขาคณิตใดๆ เราจะหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านเท่ากับ 1 เพื่อความสมบูรณ์ ให้เรานึกถึงคุณสมบัติพื้นฐานสองประการสำหรับแนวคิดเรื่องพื้นที่ของรูปทรงเรขาคณิต

คุณสมบัติ 1:หากรูปทรงเรขาคณิตเท่ากัน พื้นที่ของพวกมันก็จะเท่ากันด้วย

คุณสมบัติ 2:ตัวเลขใด ๆ ก็สามารถแบ่งออกเป็นหลาย ๆ ร่างได้ ยิ่งกว่านั้น พื้นที่ของรูปดั้งเดิมจะเท่ากับผลรวมของพื้นที่ของรูปประกอบทั้งหมด

ลองดูตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 1

แน่นอนว่าด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมนั้นเป็นเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมผืนผ้า ด้านหนึ่งมีความยาว $5$ (เนื่องจากมีเซลล์ $5$) และอีกด้านคือ $6$ (เนื่องจากมีเซลล์ $6$) ดังนั้นพื้นที่ของสามเหลี่ยมนี้จะเท่ากับครึ่งหนึ่งของสี่เหลี่ยมดังกล่าว พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคือ

แล้วพื้นที่ของสามเหลี่ยมจะเท่ากับ

คำตอบ: $15$.

ต่อไปเราจะพิจารณาหลายวิธีในการหาพื้นที่ของสามเหลี่ยม คือ การใช้ความสูงและฐาน โดยใช้สูตรของนกกระสา และพื้นที่ของสามเหลี่ยมด้านเท่า

วิธีหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมโดยใช้ความสูงและฐานของมัน

ทฤษฎีบท 1

พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมสามารถหาได้จากครึ่งหนึ่งของผลคูณของความยาวของด้านหนึ่งและความสูงด้านนั้น

ในทางคณิตศาสตร์จะมีลักษณะเช่นนี้

$S=\frac(1)(2)αh$

โดยที่ $a$ คือความยาวของด้าน $h$ คือความสูงที่ลากไป

การพิสูจน์.

พิจารณารูปสามเหลี่ยม $ABC$ โดยที่ $AC=α$ ความสูง $BH$ ถูกลากมาทางด้านนี้ ซึ่งเท่ากับ $h$ มาสร้างมันขึ้นมาเป็นสี่เหลี่ยม $AXYC$ ดังในรูปที่ 2 กันดีกว่า

พื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้า $AXBH$ คือ $h\cdot AH$ และพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้า $HBYC$ คือ $h\cdot HC$ แล้ว

$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$

ดังนั้นพื้นที่ที่ต้องการของสามเหลี่ยมตามคุณสมบัติ 2 จึงเท่ากับ

$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ตัวอย่างที่ 2

ค้นหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมในรูปด้านล่างหากเซลล์มีพื้นที่เท่ากับหนึ่ง

ฐานของสามเหลี่ยมนี้เท่ากับ $9$ (เนื่องจาก $9$ คือ $9$ กำลังสอง) ส่วนสูงก็ $9$ เช่นกัน จากนั้นตามทฤษฎีบท 1 เราจะได้

$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40.5$

คำตอบ: $40.5$.

สูตรของนกกระสา

ทฤษฎีบท 2

หากเราได้รับด้านสามด้านของสามเหลี่ยม $α$, $β$ และ $γ$ แล้ว พื้นที่ของมันจะเป็นดังนี้

$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

โดยที่ $ρ$ หมายถึง กึ่งเส้นรอบรูปของสามเหลี่ยมนี้

การพิสูจน์.

พิจารณารูปต่อไปนี้:

ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส จากสามเหลี่ยม $ABH$ ที่เราได้รับ

จากสามเหลี่ยม $CBH$ ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส เราได้

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

จากความสัมพันธ์ทั้งสองนี้เราได้รับความเท่าเทียมกัน

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$

$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$

$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$

$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$

เนื่องจาก $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$ ดังนั้น $α+β+γ=2ρ$ ซึ่งหมายถึง

$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$

$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$

$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$

$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

จากทฤษฎีบท 1 เราได้

$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม - สูตรและตัวอย่างการแก้ปัญหา

ด้านล่างนี้คือ สูตรการหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมตามอำเภอใจซึ่งเหมาะสำหรับการหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมใดๆ ก็ตาม ไม่ว่าจะมีคุณสมบัติ มุม หรือขนาดเท่าใด สูตรจะแสดงเป็นรูปภาพพร้อมคำอธิบายการใช้งานหรือเหตุผลเพื่อความถูกต้อง นอกจากนี้ รูปภาพที่แยกต่างหากยังแสดงความสอดคล้องกันระหว่างสัญลักษณ์ตัวอักษรในสูตรและสัญลักษณ์กราฟิกในรูปวาด

บันทึก . หากรูปสามเหลี่ยมมีคุณสมบัติพิเศษ (หน้าจั่ว สี่เหลี่ยม ด้านเท่า) คุณสามารถใช้สูตรที่ให้ไว้ด้านล่าง รวมถึงสูตรพิเศษเพิ่มเติมที่ใช้ได้เฉพาะกับรูปสามเหลี่ยมที่มีคุณสมบัติเหล่านี้เท่านั้น:

• “สูตรพื้นที่สามเหลี่ยมด้านเท่า”

สูตรพื้นที่สามเหลี่ยม

คำอธิบายสำหรับสูตร:
ก ข ค- ความยาวของด้านของสามเหลี่ยมที่เราอยากหาพื้นที่
ร- รัศมีของวงกลมที่จารึกไว้ในรูปสามเหลี่ยม
ร- รัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบรูปสามเหลี่ยม
ชม.- ความสูงของรูปสามเหลี่ยมลดลงไปด้านข้าง
พี- กึ่งปริมณฑลของรูปสามเหลี่ยม 1/2 ผลรวมของด้าน (เส้นรอบรูป)
α - มุมตรงข้ามกับด้าน a ของรูปสามเหลี่ยม
β - มุมตรงข้ามกับด้าน b ของรูปสามเหลี่ยม
γ - มุมตรงข้ามกับด้าน c ของรูปสามเหลี่ยม
ชม. ก, ชม. ข , ชม. ค- ความสูงของรูปสามเหลี่ยมลดลงเหลือด้าน a, b, c

โปรดทราบว่าสัญกรณ์ที่ให้มานั้นสอดคล้องกับรูปด้านบน ดังนั้นเมื่อแก้ไขปัญหาเรขาคณิตจริง คุณจะมองเห็นได้ง่ายขึ้นในการแทนที่ค่าที่ถูกต้องในตำแหน่งที่ถูกต้องในสูตร

• พื้นที่ของสามเหลี่ยมคือ ครึ่งหนึ่งของผลคูณของความสูงของรูปสามเหลี่ยมและความยาวของด้านที่ความสูงนี้ลดลง(สูตร 1). ความถูกต้องของสูตรนี้สามารถเข้าใจได้อย่างมีเหตุผล ความสูงที่ลดลงถึงฐานจะแบ่งสามเหลี่ยมตามอำเภอใจออกเป็นสี่เหลี่ยมสองอัน หากคุณสร้างแต่ละอันเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีขนาด b และ h เห็นได้ชัดว่าพื้นที่ของสามเหลี่ยมเหล่านี้จะเท่ากับครึ่งหนึ่งของพื้นที่สี่เหลี่ยมอย่างแน่นอน (Spr = bh)
• พื้นที่ของสามเหลี่ยมคือ ครึ่งหนึ่งของผลคูณของทั้งสองด้านและไซน์ของมุมระหว่างทั้งสอง(สูตรที่ 2) (ดูตัวอย่างการแก้ปัญหาโดยใช้สูตรนี้ด้านล่าง) แม้จะดูแตกต่างไปจากครั้งก่อน แต่ก็สามารถแปลงร่างเป็นมันได้อย่างง่ายดาย ถ้าเราลดความสูงจากมุม B ลงด้าน b ปรากฎว่าผลคูณของด้าน a และไซน์ของมุม γ ตามคุณสมบัติของไซน์ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เท่ากับความสูงของรูปสามเหลี่ยมที่เราวาด ซึ่งให้สูตรก่อนหน้าแก่เรา
• สามารถหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมใดก็ได้ ผ่าน งานครึ่งหนึ่งของรัศมีของวงกลมที่อยู่ภายในนั้นด้วยผลรวมของความยาวของด้านทั้งหมด(สูตร 3) พูดง่ายๆ คือคุณต้องคูณกึ่งเส้นรอบรูปของสามเหลี่ยมด้วยรัศมีของวงกลมที่เขียนไว้ (ซึ่งจำง่ายกว่า)
• พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมใดๆ สามารถหาได้โดยการหารผลคูณของทุกด้านด้วยรัศมี 4 รัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบ (สูตร 4)
• สูตรที่ 5 คือการหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมผ่านความยาวของด้านและกึ่งปริมณฑล (ครึ่งหนึ่งของผลรวมด้านทั้งหมด)
• สูตรของนกกระสา(6) เป็นการแทนสูตรเดียวกันโดยไม่ต้องใช้แนวคิดแบบกึ่งเส้นรอบรูปผ่านความยาวของด้านเท่านั้น
• พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมตามอำเภอใจเท่ากับผลคูณของกำลังสองของด้านข้างของรูปสามเหลี่ยมและไซน์ของมุมที่อยู่ติดกับด้านนี้หารด้วยไซน์คู่ของมุมตรงข้ามกับด้านนี้ (สูตร 7)
• พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมใดๆ สามารถหาได้จากผลคูณของสี่เหลี่ยมจัตุรัสสองอันของวงกลมที่ล้อมรอบด้วยไซน์ของแต่ละมุม (สูตร 8)
• หากทราบความยาวของด้านหนึ่งและค่าของมุมสองมุมที่อยู่ติดกัน พื้นที่ของสามเหลี่ยมก็หาได้จากกำลังสองของด้านนี้หารด้วยผลรวมสองเท่าของโคแทนเจนต์ของมุมเหล่านี้ (สูตร 9)
• หากทราบเพียงความยาวของความสูงของสามเหลี่ยมแต่ละอัน (สูตร 10) พื้นที่ของสามเหลี่ยมดังกล่าวจะแปรผกผันกับความยาวของความสูงเหล่านี้ตามสูตรของนกกระสา
• สูตร 11 ให้คุณคำนวณได้ พื้นที่ของสามเหลี่ยมตามพิกัดของจุดยอดซึ่งระบุเป็นค่า (x;y) สำหรับแต่ละจุดยอด โปรดทราบว่าค่าผลลัพธ์จะต้องเป็นแบบโมดูโล เนื่องจากพิกัดของจุดยอดแต่ละจุด (หรือทั้งหมด) อาจอยู่ในขอบเขตของค่าลบ

บันทึก. ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างการแก้ปัญหาเรขาคณิตเพื่อหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม หากคุณต้องการแก้ปัญหาเรขาคณิตที่ไม่เหมือนกัน โปรดเขียนเกี่ยวกับปัญหานั้นในฟอรัม ในการแก้ปัญหา แทนที่จะใช้สัญลักษณ์ "รากที่สอง" สามารถใช้ฟังก์ชัน sqrt() ได้ โดยที่ sqrt คือสัญลักษณ์รากที่สอง และนิพจน์รากจะแสดงอยู่ในวงเล็บ.บางครั้งสำหรับนิพจน์รากอย่างง่ายก็สามารถใช้สัญลักษณ์ได้ √

งาน. ค้นหาพื้นที่ที่กำหนดด้านสองด้านและมุมระหว่างด้านทั้งสอง

ด้านข้างของสามเหลี่ยมคือ 5 และ 6 ซม. มุมระหว่างพวกเขาคือ 60 องศา หาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม.

สารละลาย.

เพื่อแก้ปัญหานี้ เราใช้สูตรหมายเลข 2 จากส่วนทางทฤษฎีของบทเรียน
พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมสามารถหาได้จากความยาวของด้านทั้งสองและไซน์ของมุมระหว่างด้านทั้งสองและจะเท่ากับ
S=1/2 AB ซิน γ

เนื่องจากเรามีข้อมูลที่จำเป็นทั้งหมดสำหรับการแก้ปัญหา (ตามสูตร) ​​เราจึงสามารถแทนที่ค่าจากเงื่อนไขของปัญหาลงในสูตรได้เท่านั้น:
S = 1/2 * 5 * 6 * บาป 60

ในตารางค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติ เราจะค้นหาและแทนที่ค่าไซน์ 60 องศาลงในนิพจน์ มันจะเท่ากับรากของสามคูณสอง.
ส = 15 √3 / 2

คำตอบ: 7.5 √3 (แล้วแต่อาจารย์กำหนดอาจจะทิ้ง 15 √3/2 ก็ได้)

งาน. ค้นหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมด้านเท่า

จงหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมด้านเท่าที่มีด้านยาว 3 ซม.

สารละลาย .

สามารถหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมได้โดยใช้สูตรของนกกระสา:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

เนื่องจาก a = b = c สูตรสำหรับพื้นที่ของสามเหลี่ยมด้านเท่าจึงมีรูปแบบ:

ส = √3 / 4 * ก 2

ส = √3 / 4 * 3 2

คำตอบ: 9 √3 / 4.

งาน. เปลี่ยนพื้นที่เมื่อเปลี่ยนความยาวของด้าน

พื้นที่ของสามเหลี่ยมจะเพิ่มขึ้นกี่เท่าถ้าด้านเพิ่มขึ้น 4 เท่า?

สารละลาย.

เนื่องจากเราไม่ทราบขนาดของด้านของสามเหลี่ยม เพื่อแก้ปัญหา เราจะถือว่าความยาวของด้านนั้นเท่ากับตัวเลข a, b, c ตามลำดับ จากนั้น เพื่อตอบคำถามของปัญหา เราจะหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่กำหนด จากนั้นเราจะหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่มีด้านใหญ่กว่าสี่เท่า อัตราส่วนของพื้นที่ของสามเหลี่ยมเหล่านี้จะให้คำตอบแก่เรา

ด้านล่างนี้เราจะให้คำอธิบายที่เป็นข้อความเกี่ยวกับวิธีแก้ไขปัญหาทีละขั้นตอน อย่างไรก็ตาม ในตอนท้ายสุด โซลูชันเดียวกันนี้จะถูกนำเสนอในรูปแบบกราฟิกที่สะดวกกว่า ผู้สนใจสามารถลงแนวทางแก้ไขปัญหาได้ทันที

ในการแก้ปัญหา เราใช้สูตรของ Heron (ดูด้านบนในส่วนทางทฤษฎีของบทเรียน) ดูเหมือนว่านี้:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(ดูบรรทัดแรกของภาพด้านล่าง)

ความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยมใดๆ ถูกกำหนดโดยตัวแปร a, b, c
หากด้านข้างเพิ่มขึ้น 4 เท่า พื้นที่ของสามเหลี่ยมใหม่ c จะเป็น:

S 2 = 1/4 ตร.ร.ต.((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(ดูบรรทัดที่สองในภาพด้านล่าง)

อย่างที่คุณเห็น 4 เป็นตัวประกอบทั่วไปที่สามารถนำออกจากวงเล็บจากนิพจน์ทั้งสี่ได้ตามกฎทั่วไปของคณิตศาสตร์
แล้ว

S 2 = 1/4 sqrt(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - บนบรรทัดที่สามของภาพ
S 2 = 1/4 sqrt(256 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - บรรทัดที่สี่

รากที่สองของเลข 256 ถูกแยกออกมาอย่างสมบูรณ์แล้ว เรามาเอามันออกจากใต้รากกันดีกว่า
S 2 = 16 * 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(ดูบรรทัดที่ห้าของภาพด้านล่าง)

เพื่อตอบคำถามที่ถามในปัญหาเราเพียงแค่ต้องแบ่งพื้นที่ของสามเหลี่ยมผลลัพธ์ตามพื้นที่ของสามเหลี่ยมเดิม
ให้เรากำหนดอัตราส่วนพื้นที่โดยการหารนิพจน์ด้วยกันและลดเศษส่วนผลลัพธ์

แนวคิดของพื้นที่

แนวคิดเรื่องพื้นที่ของรูปทรงเรขาคณิตใดๆ โดยเฉพาะรูปสามเหลี่ยมจะสัมพันธ์กับรูปเช่นสี่เหลี่ยมจัตุรัส สำหรับพื้นที่หน่วยของรูปทรงเรขาคณิตใดๆ เราจะหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านเท่ากับ 1 เพื่อความสมบูรณ์ ให้เรานึกถึงคุณสมบัติพื้นฐานสองประการสำหรับแนวคิดเรื่องพื้นที่ของรูปทรงเรขาคณิต

คุณสมบัติ 1:หากรูปทรงเรขาคณิตเท่ากัน พื้นที่ของพวกมันก็จะเท่ากันด้วย

คุณสมบัติ 2:ตัวเลขใด ๆ ก็สามารถแบ่งออกเป็นหลาย ๆ ร่างได้ ยิ่งกว่านั้น พื้นที่ของรูปดั้งเดิมจะเท่ากับผลรวมของพื้นที่ของรูปประกอบทั้งหมด

ลองดูตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 1

แน่นอนว่าด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมนั้นเป็นเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมผืนผ้า ด้านหนึ่งมีความยาว $5$ (เนื่องจากมีเซลล์ $5$) และอีกด้านคือ $6$ (เนื่องจากมีเซลล์ $6$) ดังนั้นพื้นที่ของสามเหลี่ยมนี้จะเท่ากับครึ่งหนึ่งของสี่เหลี่ยมดังกล่าว พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคือ

แล้วพื้นที่ของสามเหลี่ยมจะเท่ากับ

คำตอบ: $15$.

ต่อไปเราจะพิจารณาหลายวิธีในการหาพื้นที่ของสามเหลี่ยม คือ การใช้ความสูงและฐาน โดยใช้สูตรของนกกระสา และพื้นที่ของสามเหลี่ยมด้านเท่า

วิธีหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมโดยใช้ความสูงและฐานของมัน

ทฤษฎีบท 1

พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมสามารถหาได้จากครึ่งหนึ่งของผลคูณของความยาวของด้านหนึ่งและความสูงด้านนั้น

ในทางคณิตศาสตร์จะมีลักษณะเช่นนี้

$S=\frac(1)(2)αh$

โดยที่ $a$ คือความยาวของด้าน $h$ คือความสูงที่ลากไป

การพิสูจน์.

พิจารณารูปสามเหลี่ยม $ABC$ โดยที่ $AC=α$ ความสูง $BH$ ถูกลากมาทางด้านนี้ ซึ่งเท่ากับ $h$ มาสร้างมันขึ้นมาเป็นสี่เหลี่ยม $AXYC$ ดังในรูปที่ 2 กันดีกว่า

พื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้า $AXBH$ คือ $h\cdot AH$ และพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้า $HBYC$ คือ $h\cdot HC$ แล้ว

$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$

ดังนั้นพื้นที่ที่ต้องการของสามเหลี่ยมตามคุณสมบัติ 2 จึงเท่ากับ

$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ตัวอย่างที่ 2

ค้นหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมในรูปด้านล่างหากเซลล์มีพื้นที่เท่ากับหนึ่ง

ฐานของสามเหลี่ยมนี้เท่ากับ $9$ (เนื่องจาก $9$ คือ $9$ กำลังสอง) ส่วนสูงก็ $9$ เช่นกัน จากนั้นตามทฤษฎีบท 1 เราจะได้

$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40.5$

คำตอบ: $40.5$.

สูตรของนกกระสา

ทฤษฎีบท 2

หากเราได้รับด้านสามด้านของสามเหลี่ยม $α$, $β$ และ $γ$ แล้ว พื้นที่ของมันจะเป็นดังนี้

$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

โดยที่ $ρ$ หมายถึง กึ่งเส้นรอบรูปของสามเหลี่ยมนี้

การพิสูจน์.

พิจารณารูปต่อไปนี้:

ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส จากสามเหลี่ยม $ABH$ ที่เราได้รับ

จากสามเหลี่ยม $CBH$ ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส เราได้

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

จากความสัมพันธ์ทั้งสองนี้เราได้รับความเท่าเทียมกัน

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$

$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$

$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$

$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$

เนื่องจาก $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$ ดังนั้น $α+β+γ=2ρ$ ซึ่งหมายถึง

$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$

$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$

$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$

$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

จากทฤษฎีบท 1 เราได้

$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$