Si në vazhdim:

S = ½ * a * h,

Ku:
S - zona e trekëndëshit,
a është gjatësia e anës së saj,
h është lartësia e ulur në këtë anë.

Gjatësia dhe lartësia e anës duhet të paraqiten në të njëjtat njësi matëse. Në këtë rast, zona e trekëndëshit do të merret në njësitë përkatëse "".

Shembull.
Në njërën anë të një trekëndëshi të shkallëzuar 20 cm të gjatë, një pingul nga kulmi i kundërt 10 cm i gjatë është ulur.
Kërkohet zona e trekëndëshit.
Zgjidhje.
S = ½ * 20 * 10 = 100 (cm²).

Nëse dihen gjatësitë e çdo dy brinjësh të një trekëndëshi të shkallëzuar dhe këndi ndërmjet tyre, atëherë përdorni formulën:

S = ½ * a * b * sinγ,

ku: a, b janë gjatësitë e dy brinjëve arbitrare, dhe γ është vlera e këndit ndërmjet tyre.

Në praktikë, për shembull, kur matni sipërfaqen e tokës, përdorimi i formulave të mësipërme ndonjëherë është i vështirë, pasi kërkon ndërtim shtesë dhe matje të këndeve.

Nëse i dini gjatësitë e të tre brinjëve të një trekëndëshi të shkallëzuar, atëherë përdorni formulën e Heronit:

S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)),

a, b, c - gjatësitë e brinjëve të trekëndëshit,
p – gjysmëperimetri: p = (a+b+c)/2.

Nëse, përveç gjatësive të të gjitha anëve, dihet rrezja e rrethit të gdhendur në trekëndësh, atëherë përdorni formulën kompakte të mëposhtme:

ku: r – rrezja e rrethit të brendashkruar (р – gjysmëperimetri).

Për të llogaritur sipërfaqen e një trekëndëshi të shkallëzuar duke përdorur rrezen e rrethit dhe gjatësinë e anëve të tij, përdorni formulën:

ku: R – rrezja e rrethit të rrethuar.

Nëse dihet gjatësia e njërës prej anëve të trekëndëshit dhe vlerat e tre këndeve (në parim, dy janë të mjaftueshme - vlera e të tretës llogaritet nga barazia e shumës së tre këndeve të trekëndëshit - 180º), më pas përdorni formulën:

S = (a² * sinβ * sinγ)/2sinα,

ku α është vlera e këndit përballë brinjës a;
β, γ - vlerat e dy këndeve të mbetura të trekëndëshit.

Një trekëndësh i rregullt është një trekëndësh me tre brinjë të barabarta. Ai ka këto veti: të gjitha anët e një trekëndëshi të rregullt janë të barabarta me njëra-tjetrën dhe të gjitha këndet janë të barabarta me 60 gradë. Një trekëndësh i rregullt është dykëndësh.

Do t'ju duhet

• Njohuri për gjeometrinë.

Udhëzimet

Le të jepet një brinjë e një trekëndëshi të rregullt me ​​gjatësi a=7. Duke ditur anën e një trekëndëshi të tillë, lehtë mund të llogarisni zonën e tij. Për këtë përdoret si vijon: S = (3^(1/2)*a^2)/4. Le të zëvendësojmë vlerën a=7 në këtë formulë dhe të marrim sa vijon: S = (7*7*3^1/2)/4 = 49 * 1.7 / 4 = 20.82. Kështu, zbuluam se sipërfaqja e një trekëndëshi barabrinjës me brinjë a=7 është e barabartë me S=20,82.

Nëse jepet rrezja e rrethit, do të duket kështu:
S = 3*3^(1/2)*r^2, ku r është rrezja e rrethit të brendashkruar. Le të jetë r=4 rrezja e rrethit të brendashkruar. Le ta zëvendësojmë atë në formulën e shkruar më parë dhe të marrim shprehjen e mëposhtme: S = 3*1.7*4*4 = 81.6. Kjo do të thotë, nëse rrezja e rrethit të gdhendur është e barabartë me 4, zona e trekëndëshit barabrinjës do të jetë e barabartë me 81.6.

Me një rreze të njohur të rrethit të rrethuar, formula për sipërfaqen e një trekëndëshi duket kështu: S = 3*3^(1/2)*R^2/4, ku R është rrezja e rrethit të rrethuar . Le të supozojmë se R=5, zëvendësojmë këtë vlerë në formulën: S = 3*1.7*25/4 = 31.9. Rezulton se me një rreze të rrethit të rrethuar të barabartë me 5, sipërfaqja e trekëndëshit është 31.9.

shënim

Sipërfaqja e një trekëndëshi është gjithmonë pozitive, siç është gjatësia e një brinjë të një trekëndëshi dhe rrezet e rrathëve të brendashkruar dhe të rrethuar.

Këshilla të dobishme

Rrezja e rrathëve të brendashkruar dhe të rrethuar në një trekëndësh barabrinjës ndryshon me një faktor dy, duke e ditur këtë, ju mund të mbani mend vetëm një formulë, për shembull, përmes rrezes së rrethit të gdhendur, dhe të nxirrni të dytën, duke ditur këtë deklaratë.

Nëse dihen gjatësia e njërës prej anëve të një trekëndëshi dhe vlerat e këndeve ngjitur, zona e tij mund të llogaritet në disa mënyra. Secila prej formulave të llogaritjes përfshin përdorimin e funksioneve trigonometrike, por kjo nuk duhet të jetë frikësuese - për t'i llogaritur ato, mjafton të keni akses në internet, për të mos përmendur praninë e një kalkulatori të integruar në sistemin operativ.

Udhëzimet

Opsioni i parë për llogaritjen e zonës (S) nga gjatësia e njohur e njërës prej anëve (A) dhe vlerave të këndeve ngjitur (α dhe β) përfshin llogaritjen e këtyre këndeve. Sipërfaqja në këtë rast do të jetë katrori i gjatësisë së brinjës së njohur, pjesëtuar me dyfishin e kotangjenteve të këndeve të njohura: S = A*A/(2*(ctg(α)+ctg(β))). Për shembull, nëse gjatësia e një faqeje të njohur është 15 cm, dhe këndet ngjitur janë 40° dhe 60°, atëherë llogaritja e sipërfaqes do të duket kështu: 15*15/(2*(ctg(40)+ctg(60 ))) = 225/(2*(-0.895082918+3.12460562)) = 225/4.4590454 = 50.4592305 centimetra katrorë.

Opsioni i dytë për llogaritjen e sipërfaqes përdor sinuset e këndeve të njohura në vend të kotangjenteve. Në këtë version, sipërfaqja është e barabartë me katrorin e gjatësisë së brinjës së njohur, shumëzuar me sinuset e secilit prej këndeve dhe pjesëtuar me dyfishin e sinusit të shumës së këtyre këndeve: S = A*A*sin(α )*sin(β)/(2*sin(α + β) ). Për shembull, për të njëjtin trekëndësh me një anë të njohur prej 15 cm dhe kënde ngjitur prej 40° dhe 60°, llogaritja e sipërfaqes do të duket kështu: (15*15*sin(40)*sin(60))/( 2* sin(40+60)) = 225*0.74511316*(-0.304810621)/(2*(-0.506365641)) = -51.1016411/-1.01273128 = 50.45923 centimetra katrore.

Opsioni i tretë për llogaritjen e sipërfaqes së një trekëndëshi përdor tangjentet e këndeve. Sipërfaqja do të jetë e barabartë me katrorin e gjatësisë së brinjës së njohur, shumëzuar me tangjentet e secilit prej këndeve dhe pjesëtuar me dyfishin e shumës së tangjentave të këtyre këndeve: S = A*A*tg(α)*tg (β)/2(tg(α)+tg(β) ). Për shembull, për një trekëndësh të përdorur në hapat e mëparshëm me brinjë 15 cm dhe kënde ngjitur 40° dhe 60°, llogaritja e sipërfaqes do të duket kështu: (15*15*tg(40)*tg(60 ))/(2*(tg (40)+tg(60)) = (225*(-1.11721493)*0.320040389)/(2*(-1.11721493+0.320040389)) = -80.4496274 = -80.4496274 = -80.4496594. centimetra.

Llogaritjet praktike mund të bëhen, për shembull, duke përdorur kalkulatorin e motorit të kërkimit Google. Për ta bërë këtë, thjesht zëvendësoni vlerat numerike në formula dhe futini ato në fushën e pyetjes së kërkimit.

Këshilla 4: Si të gjeni sipërfaqen e një trekëndëshi dhe një drejtkëndëshi

Trekëndëshi dhe drejtkëndëshi janë dy figurat më të thjeshta gjeometrike të rrafshët në gjeometrinë Euklidiane. Brenda perimetrave të formuar nga anët e këtyre poligoneve, ekziston një seksion i caktuar i rrafshit, zona e së cilës mund të përcaktohet në shumë mënyra. Zgjedhja e metodës në çdo rast specifik do të varet nga parametrat e njohur të figurave.

Formula e sipërfaqesështë e nevojshme për të përcaktuar sipërfaqen e një figure, e cila është një funksion me vlerë reale i përcaktuar në një klasë të caktuar figurash të rrafshit Euklidian dhe që plotëson 4 kushte:

1. Pozitiviteti - Zona nuk mund të jetë më e vogël se zero;
2. Normalizimi - një katror me njësi anësore ka sipërfaqen 1;
3. Kongruenca - figurat kongruente kanë sipërfaqe të barabartë;
4. Aditiviteti - zona e bashkimit të 2 figurave pa pika të brendshme të përbashkëta është e barabartë me shumën e sipërfaqeve të këtyre figurave.

Koncepti i zonës

Koncepti i zonës së çdo figure gjeometrike, në veçanti një trekëndësh, do të shoqërohet me një figurë të tillë si një katror. Për sipërfaqen e njësisë së çdo figure gjeometrike do të marrim sipërfaqen e një katrori, ana e të cilit është e barabartë me një. Për plotësi, le të kujtojmë dy veti themelore për konceptin e zonave të figurave gjeometrike.

Prona 1: Nëse figurat gjeometrike janë të barabarta, atëherë edhe sipërfaqet e tyre janë të barabarta.

Prona 2:Çdo figurë mund të ndahet në disa figura. Për më tepër, sipërfaqja e figurës origjinale është e barabartë me shumën e sipërfaqeve të të gjitha figurave përbërëse të saj.

Le të shohim një shembull.

Shembulli 1

Natyrisht, njëra nga anët e trekëndëshit është një diagonale e një drejtkëndëshi, njëra anë e të cilit ka një gjatësi prej $5$ (pasi ka qeliza $5$), dhe tjetra është $6$ (pasi ka qeliza $6$). Prandaj, zona e këtij trekëndëshi do të jetë e barabartë me gjysmën e një drejtkëndëshi të tillë. Sipërfaqja e drejtkëndëshit është

Atëherë sipërfaqja e trekëndëshit është e barabartë me

Përgjigje: 15 dollarë.

Më pas, ne do të shqyrtojmë disa metoda për gjetjen e zonave të trekëndëshave, përkatësisht duke përdorur lartësinë dhe bazën, duke përdorur formulën e Heronit dhe sipërfaqen e një trekëndëshi barabrinjës.

Si të gjeni sipërfaqen e një trekëndëshi duke përdorur lartësinë dhe bazën e tij

Teorema 1

Sipërfaqja e një trekëndëshi mund të gjendet sa gjysma e produktit të gjatësisë së një brinjë dhe lartësisë në atë anë.

Matematikisht duket kështu

$S=\frac(1)(2)αh$

ku $a$ është gjatësia e anës, $h$ është lartësia e tërhequr drejt saj.

Dëshmi.

Konsideroni një trekëndësh $ABC$ në të cilin $AC=α$. Lartësia $BH$ është tërhequr në këtë anë, e cila është e barabartë me $h$. Le ta ndërtojmë atë deri në katrorin $AXYC$ si në Figurën 2.

Sipërfaqja e drejtkëndëshit $AXBH$ është $h\cdot AH$ dhe sipërfaqja e drejtkëndëshit $HBYC$ është $h\cdot HC$. Pastaj

$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$

Prandaj, sipërfaqja e kërkuar e trekëndëshit, nga vetia 2, është e barabartë me

$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$

Teorema është vërtetuar.

Shembulli 2

Gjeni sipërfaqen e trekëndëshit në figurën më poshtë nëse qeliza ka një sipërfaqe të barabartë me një

Baza e këtij trekëndëshi është e barabartë me 9$ (pasi 9$ janë katrorë $9$). Lartësia është gjithashtu 9 dollarë. Pastaj, nga Teorema 1, marrim

$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40,5$

Përgjigje: 40,5 dollarë.

Formula e Heronit

Teorema 2

Nëse na jepen tre brinjë të trekëndëshit $α$, $β$ dhe $γ$, atëherë zona e tij mund të gjendet si më poshtë

$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

këtu $ρ$ nënkupton gjysmëperimetrin e këtij trekëndëshi.

Dëshmi.

Merrni parasysh figurën e mëposhtme:

Nga teorema e Pitagorës, nga trekëndëshi $ABH$ marrim

Nga trekëndëshi $CBH$, sipas teoremës së Pitagorës, kemi

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

Nga këto dy marrëdhënie marrim barazinë

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$

$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$

$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$

$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$

Meqenëse $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, atëherë $α+β+γ=2ρ$, që do të thotë

$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$

$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2)$

$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$

$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Nga teorema 1, marrim

$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Zona e një trekëndëshi - formula dhe shembuj të zgjidhjes së problemit

Më poshtë janë formulat për gjetjen e sipërfaqes së një trekëndëshi arbitrar të cilat janë të përshtatshme për të gjetur sipërfaqen e çdo trekëndëshi, pavarësisht nga vetitë, këndet ose madhësitë e tij. Formulat paraqiten në formën e një fotografie, me shpjegime për zbatimin e tyre ose justifikim për korrektësinë e tyre. Gjithashtu, një figurë e veçantë tregon korrespondencën midis simboleve të shkronjave në formula dhe simboleve grafike në vizatim.

shënim . Nëse trekëndëshi ka veti të veçanta (barabrinjës, drejtkëndësh, barabrinjës), mund të përdorni formulat e dhëna më poshtë, si dhe formula të veçanta shtesë që janë të vlefshme vetëm për trekëndëshat me këto veti:

• "Formula për sipërfaqen e një trekëndëshi barabrinjës"

Formulat e sipërfaqes së trekëndëshit

Shpjegime për formulat:
a, b, c- gjatësitë e brinjëve të trekëndëshit sipërfaqen e të cilit duam ta gjejmë
r- rrezja e rrethit të brendashkruar në trekëndësh
R- rrezja e rrethit të rrethuar rreth trekëndëshit
h- lartësia e trekëndëshit ulet anash
fq- gjysmëperimetri i një trekëndëshi, 1/2 e shumës së brinjëve të tij (perimetri)
α - këndi përballë brinjës a të trekëndëshit
β - këndi përballë brinjës b të trekëndëshit
γ - këndi përballë brinjës c të trekëndëshit
h a, h b , h c- lartësia e trekëndëshit e ulur në brinjët a, b, c

Ju lutemi vini re se shënimet e dhëna korrespondojnë me figurën e mësipërme, në mënyrë që kur zgjidhni një problem të vërtetë gjeometrie, do të jetë vizualisht më e lehtë për ju të zëvendësoni vlerat e sakta në vendet e duhura në formulë.

• Sipërfaqja e trekëndëshit është gjysma e prodhimit të lartësisë së trekëndëshit dhe gjatësisë së brinjës me të cilën ulet kjo lartësi(Formula 1). Korrektësia e kësaj formule mund të kuptohet logjikisht. Lartësia e ulur në bazë do të ndajë një trekëndësh arbitrar në dy drejtkëndëshe. Nëse e ndërtoni secilën prej tyre në një drejtkëndësh me dimensione b dhe h, atëherë padyshim që sipërfaqja e këtyre trekëndëshave do të jetë e barabartë me saktësisht gjysmën e sipërfaqes së drejtkëndëshit (Spr = bh)
• Sipërfaqja e trekëndëshit është gjysma e prodhimit të dy brinjëve të tij dhe sinusit të këndit ndërmjet tyre(Formula 2) (shih një shembull të zgjidhjes së një problemi duke përdorur këtë formulë më poshtë). Edhe pse duket ndryshe nga ai i mëparshmi, mund të shndërrohet lehtësisht në të. Nëse e ulim lartësinë nga këndi B në brinjën b, rezulton se prodhimi i brinjës a dhe i sinusit të këndit γ, sipas vetive të sinusit në një trekëndësh kënddrejtë, është i barabartë me lartësinë e trekëndëshit që vizatuam. , e cila na jep formulën e mëparshme
• Mund të gjendet zona e një trekëndëshi arbitrar përmes puna gjysma e rrezes së rrethit të gdhendur në të nga shuma e gjatësive të të gjitha anëve të tij(Formula 3), thënë thjesht, ju duhet të shumëzoni gjysmëperimetrin e trekëndëshit me rrezen e rrethit të brendashkruar (kjo është më e lehtë për t'u mbajtur mend)
• Zona e një trekëndëshi arbitrar mund të gjendet duke e ndarë produktin e të gjitha anëve të tij me 4 rreze të rrethit të rrethuar rreth tij (Formula 4)
• Formula 5 po gjen sipërfaqen e një trekëndëshi përmes gjatësisë së brinjëve dhe gjysmëperimetrit të tij (gjysma e shumës së të gjitha brinjëve të tij)
• Formula e Heronit(6) është një paraqitje e së njëjtës formulë pa përdorur konceptin e gjysmëperimetrit, vetëm përmes gjatësive të brinjëve
• Sipërfaqja e një trekëndëshi arbitrar është e barabartë me produktin e katrorit të anës së trekëndëshit dhe sinuseve të këndeve ngjitur me këtë anë të ndarë me sinusin e dyfishtë të këndit përballë kësaj ane (Formula 7)
• Sipërfaqja e një trekëndëshi arbitrar mund të gjendet si produkt i dy katrorëve të rrethit të rrethuar rreth tij nga sinuset e secilit prej këndeve të tij. (Formula 8)
• Nëse dihen gjatësia e njërës anë dhe vlerat e dy këndeve ngjitur, atëherë sipërfaqja e trekëndëshit mund të gjendet si katrori i kësaj faqeje të ndarë me shumën e dyfishtë të kotangjentave të këtyre këndeve (Formula 9)
• Nëse dihet vetëm gjatësia e secilës prej lartësive të trekëndëshit (Formula 10), atëherë sipërfaqja e një trekëndëshi të tillë është në proporcion të zhdrejtë me gjatësitë e këtyre lartësive, si sipas Formulës së Heronit.
• Formula 11 ju lejon të llogaritni zona e një trekëndëshi bazuar në koordinatat e kulmeve të tij, të cilat janë specifikuar si vlera (x;y) për secilën nga kulmet. Ju lutemi vini re se vlera që rezulton duhet të merret modul, pasi koordinatat e kulmeve individuale (ose edhe të gjitha) mund të jenë në rajonin e vlerave negative

shënim. Më poshtë janë shembuj të zgjidhjes së problemeve të gjeometrisë për të gjetur sipërfaqen e një trekëndëshi. Nëse keni nevojë të zgjidhni një problem gjeometrie që nuk është i ngjashëm këtu, shkruani në lidhje me të në forum. Në zgjidhje, në vend të simbolit "rrënjë katrore", mund të përdoret funksioni sqrt(), në të cilin sqrt është simboli i rrënjës katrore dhe shprehja radikale tregohet në kllapa..Ndonjëherë për shprehje të thjeshta radikale simboli mund të përdoret √

Detyrë. Gjeni sipërfaqen e dhënë dy brinjëve dhe këndin ndërmjet tyre

Brinjët e trekëndëshit janë 5 dhe 6 cm.Këndi ndërmjet tyre është 60 gradë. Gjeni sipërfaqen e trekëndëshit.

Zgjidhje.

Për të zgjidhur këtë problem, ne përdorim formulën numër dy nga pjesa teorike e mësimit.
Sipërfaqja e një trekëndëshi mund të gjendet përmes gjatësisë së dy brinjëve dhe sinusit të këndit ndërmjet tyre dhe do të jetë e barabartë me
S=1/2 ab sin γ

Meqenëse kemi të gjitha të dhënat e nevojshme për zgjidhjen (sipas formulës), mund të zëvendësojmë vetëm vlerat nga kushtet e problemit në formulën:
S = 1/2 * 5 * 6 * mëkat 60

Në tabelën e vlerave të funksioneve trigonometrike, do të gjejmë dhe do të zëvendësojmë vlerën e sinusit 60 gradë në shprehje. Do të jetë e barabartë me rrënjën e trefishit të dy.
S = 15 √3 / 2

Përgjigju: 7.5 √3 (në varësi të kërkesave të mësuesit, ndoshta mund të lini 15 √3/2)

Detyrë. Gjeni sipërfaqen e një trekëndëshi barabrinjës

Gjeni sipërfaqen e një trekëndëshi barabrinjës me brinjë 3 cm.

Zgjidhje .

Sipërfaqja e një trekëndëshi mund të gjendet duke përdorur formulën e Heronit:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

Meqenëse a = b = c, formula për sipërfaqen e një trekëndëshi barabrinjës merr formën:

S = √3 / 4 * a 2

S = √3 / 4 * 3 2

Përgjigju: 9 √3 / 4.

Detyrë. Ndryshoni zonën kur ndryshoni gjatësinë e anëve

Sa herë do të rritet sipërfaqja e trekëndëshit nëse brinjët rriten me 4 herë?

Zgjidhje.

Meqenëse përmasat e brinjëve të trekëndëshit janë të panjohura për ne, për të zgjidhur problemin do të supozojmë se gjatësitë e brinjëve janë përkatësisht të barabarta me numrat arbitrar a, b, c. Pastaj, për t'iu përgjigjur pyetjes së problemit, do të gjejmë sipërfaqen e trekëndëshit të dhënë dhe më pas do të gjejmë sipërfaqen e trekëndëshit, brinjët e të cilit janë katër herë më të mëdha. Raporti i sipërfaqeve të këtyre trekëndëshave do të na japë përgjigjen e problemit.

Më poshtë japim një shpjegim tekstual të zgjidhjes së problemit hap pas hapi. Sidoqoftë, në fund, e njëjta zgjidhje paraqitet në një formë grafike më të përshtatshme. Të interesuarit mund të zbresin menjëherë në zgjidhjet.

Për të zgjidhur, ne përdorim formulën e Heronit (shih më lart në pjesën teorike të mësimit). Duket kështu:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(shih rreshtin e parë të figurës më poshtë)

Gjatësitë e brinjëve të një trekëndëshi arbitrar përcaktohen nga variablat a, b, c.
Nëse anët rriten me 4 herë, atëherë sipërfaqja e trekëndëshit të ri c do të jetë:

S 2 = 1/4 sqrt((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(shih rreshtin e dytë në foton më poshtë)

Siç mund ta shihni, 4 është një faktor i zakonshëm që mund të hiqet nga kllapat nga të katër shprehjet sipas rregullave të përgjithshme të matematikës.
Pastaj

S 2 = 1/4 sqrt (4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c)) - në rreshtin e tretë të figurës
S 2 = 1/4 sqrt (256 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c)) - rreshti i katërt

Rrënja katrore e numrit 256 është nxjerrë në mënyrë të përkryer, kështu që le ta nxjerrim nga poshtë rrënjës
S 2 = 16 * 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(shih rreshtin e pestë të figurës më poshtë)

Për t'iu përgjigjur pyetjes së bërë në problem, thjesht duhet të ndajmë zonën e trekëndëshit që rezulton me sipërfaqen e atij origjinal.
Le të përcaktojmë raportet e sipërfaqes duke i ndarë shprehjet me njëra-tjetrën dhe duke zvogëluar thyesën që rezulton.

Koncepti i zonës

Koncepti i zonës së çdo figure gjeometrike, në veçanti një trekëndësh, do të shoqërohet me një figurë të tillë si një katror. Për sipërfaqen e njësisë së çdo figure gjeometrike do të marrim sipërfaqen e një katrori, ana e të cilit është e barabartë me një. Për plotësi, le të kujtojmë dy veti themelore për konceptin e zonave të figurave gjeometrike.

Prona 1: Nëse figurat gjeometrike janë të barabarta, atëherë edhe sipërfaqet e tyre janë të barabarta.

Prona 2:Çdo figurë mund të ndahet në disa figura. Për më tepër, sipërfaqja e figurës origjinale është e barabartë me shumën e sipërfaqeve të të gjitha figurave përbërëse të saj.

Le të shohim një shembull.

Shembulli 1

Natyrisht, njëra nga anët e trekëndëshit është një diagonale e një drejtkëndëshi, njëra anë e të cilit ka një gjatësi prej $5$ (pasi ka qeliza $5$), dhe tjetra është $6$ (pasi ka qeliza $6$). Prandaj, zona e këtij trekëndëshi do të jetë e barabartë me gjysmën e një drejtkëndëshi të tillë. Sipërfaqja e drejtkëndëshit është

Atëherë sipërfaqja e trekëndëshit është e barabartë me

Përgjigje: 15 dollarë.

Më pas, ne do të shqyrtojmë disa metoda për gjetjen e zonave të trekëndëshave, përkatësisht duke përdorur lartësinë dhe bazën, duke përdorur formulën e Heronit dhe sipërfaqen e një trekëndëshi barabrinjës.

Si të gjeni sipërfaqen e një trekëndëshi duke përdorur lartësinë dhe bazën e tij

Teorema 1

Sipërfaqja e një trekëndëshi mund të gjendet sa gjysma e produktit të gjatësisë së një brinjë dhe lartësisë në atë anë.

Matematikisht duket kështu

$S=\frac(1)(2)αh$

ku $a$ është gjatësia e anës, $h$ është lartësia e tërhequr drejt saj.

Dëshmi.

Konsideroni një trekëndësh $ABC$ në të cilin $AC=α$. Lartësia $BH$ është tërhequr në këtë anë, e cila është e barabartë me $h$. Le ta ndërtojmë atë deri në katrorin $AXYC$ si në Figurën 2.

Sipërfaqja e drejtkëndëshit $AXBH$ është $h\cdot AH$ dhe sipërfaqja e drejtkëndëshit $HBYC$ është $h\cdot HC$. Pastaj

$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$

Prandaj, sipërfaqja e kërkuar e trekëndëshit, nga vetia 2, është e barabartë me

$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$

Teorema është vërtetuar.

Shembulli 2

Gjeni sipërfaqen e trekëndëshit në figurën më poshtë nëse qeliza ka një sipërfaqe të barabartë me një

Baza e këtij trekëndëshi është e barabartë me 9$ (pasi 9$ janë katrorë $9$). Lartësia është gjithashtu 9 dollarë. Pastaj, nga Teorema 1, marrim

$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40,5$

Përgjigje: 40,5 dollarë.

Formula e Heronit

Teorema 2

Nëse na jepen tre brinjë të trekëndëshit $α$, $β$ dhe $γ$, atëherë zona e tij mund të gjendet si më poshtë

$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

këtu $ρ$ nënkupton gjysmëperimetrin e këtij trekëndëshi.

Dëshmi.

Merrni parasysh figurën e mëposhtme:

Nga teorema e Pitagorës, nga trekëndëshi $ABH$ marrim

Nga trekëndëshi $CBH$, sipas teoremës së Pitagorës, kemi

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

Nga këto dy marrëdhënie marrim barazinë

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$

$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$

$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$

$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$

Meqenëse $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, atëherë $α+β+γ=2ρ$, që do të thotë

$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$

$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2)$

$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$

$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Nga teorema 1, marrim

$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$