Semyonov Vlad, Ivasiro Alexander, estudiantes de noveno grado

Trabajo y presentación para la resolución de problemas gráficos. Se realizó un juego electrónico y un folleto con tareas gráficas.

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Títulos de diapositivas:

tesis La resolución de problemas es uno de los métodos para comprender la interconexión de las leyes de la naturaleza. La resolución de problemas es uno de los medios importantes de repetición, consolidación y autoevaluación de conocimientos. La mayoría de los problemas físicos los resolvemos analíticamente, pero en física hay problemas que requieren una solución gráfica o en los que se presenta una gráfica. Estas tareas requieren el uso de la capacidad de leer y analizar un gráfico.

Relevancia del tema. 1) Resolver y analizar problemas gráficos le permite comprender y recordar las leyes y fórmulas básicas de la física. 2) En los KIM para el Examen Estatal Unificado de Física y Matemáticas se incluyen tareas con contenido gráfico.

Objetivo del proyecto: 1. Publicar un manual para el autoaprendizaje en la resolución de problemas gráficos. 2. Crea un juego electrónico. Tareas: 1. Seleccionar tareas gráficas sobre diversos temas. 2. Descubra el patrón general en la resolución de problemas gráficos.

Lectura de una gráfica Determinación de procesos térmicos Determinación de periodo, amplitud,... Determinación de Ek, Er

En el curso de física 7-9, se pueden resaltar leyes que se expresan por dependencia directa: X(t), m (ρ), I (q), F control(Δ x), F tr(N), F ( m), P ( v) , p (F) p (h) , F а(V t) …, dependencia cuadrática: E к =mv 2 /2 E р =CU 2 /2 E р =kx 2 /2

1 . Compare la capacitancia de los condensadores 2. ¿Cuál de los puntos indicados a continuación en el diagrama de dependencia del momento de un cuerpo de su masa corresponde a la velocidad mínima? Consideremos los problemas 3 1 2

1.¿Cuál es la relación entre los coeficientes de rigidez? 2. El cuerpo, que está en reposo en el momento inicial, se mueve bajo la influencia de una fuerza constante como se muestra en la figura. Determine la magnitud de la proyección de esta fuerza si la masa corporal es de 3 kg.

Tenga en cuenta que se da P (V) y la pregunta es sobre Ek 1. ¿En cuál de las siguientes relaciones están las energías cinéticas de tres cuerpos de diferentes masas en un momento en que sus velocidades son las mismas? 2. Con base en la proyección del desplazamiento versus el tiempo para un cuerpo que pesa 2 kg, determine el momento del cuerpo en el tiempo 2 s. (La velocidad inicial es cero.)

1 . ¿Cuál de los siguientes gráficos representa con mayor precisión la relación entre la velocidad proyectada y el tiempo? (La velocidad inicial es cero). E De una dependencia a otra De un gráfico a otro

2. Un cuerpo de 1 kg de masa cambia su proyección de velocidad como se muestra en la figura. ¿Cuál de las siguientes gráficas de proyección de fuerza versus tiempo corresponde a este movimiento?

En un curso de física hay problemas con varias formas de resolverlos: 1. Calcular la velocidad promedio 2. Determinar la relación entre las proyecciones del movimiento de los cuerpos en el momento en que las velocidades de los cuerpos son iguales. 10 5 0 V,x ; m/s t,s I II III

Método nº 1 10 5 0 V,x ; m/s t,c I II III a x= V 2x – V 1x t 2 – t 1 2 S=v 0 t+en 2 /2

Método nº 2 10 5 0 Vx; m/s t,s I II III Sx= (V 0 x + Vx) t/ 2

Método nº 3 10 5 0 V,x ; m/s t,s I II III S 3 x= 1 *S S 2 x= 2 *S S 1 x: S 2 x: S 3 x= 3: 2: 1 S 1 x= 3 *S

Diapositiva adicional Obviamente, el tercer método de solución no requiere cálculos intermedios, por lo que es más rápido y por tanto más conveniente. Averigüemos en qué tareas es posible ese uso del espacio.

El análisis de los problemas resueltos muestra que si el producto de X e Y es una cantidad física, entonces es igual al área de la figura limitada por la gráfica. P=IU , A=Fs S=vt , V=at, v 0 =0 Δp/t=F , q=It Fa=V ρ g ,…. X Y

1. La figura muestra una gráfica de la proyección de la velocidad de un determinado cuerpo versus el tiempo. Determine la proyección del desplazamiento y la trayectoria de este cuerpo 5 s después del inicio del movimiento. Vx; m/s 3 0 -2 3 t ; s 5 A) 5 m, 13 m B) 13 m, 5 m C) -1 m, 0 m D) 9 m, -4 m E) 15 m, 5 m

0 4 6 8 1 2 3 4 5 6 t, s V, m/s 2. Determine la rapidez promedio del ciclista durante el tiempo t=6s. Hasta el final durante todo el tiempo S x = S trapezoide 4,7 m / s

El cambio en el impulso de un cuerpo está determinado por el área de la figura: un rectángulo si la fuerza es constante y un triángulo rectángulo si la fuerza depende linealmente del tiempo. F t F t t F

3. El mayor cambio en el momento de un cuerpo en 2s F t 1 .A 2 .B 3 .C 1 C B A Sugerencia: Ft=S f =  p

4.Utilizando la dependencia del momento del cuerpo con el tiempo, determine la fuerza resultante que actúa sobre este cuerpo. A) 3H B) 8H C) 12H D) 2H E) 16 trampa P; kg* m/s 6 2 0 2 t ; cF= Δp/t=(6-2)/2=2

Trabajo mecánico El trabajo mecánico, constante en magnitud y dirección de la fuerza, es numéricamente igual al área del rectángulo. El trabajo mecánico de la fuerza, cuya magnitud depende del módulo de desplazamiento según una ley lineal, es numéricamente igual al área de un triángulo rectángulo. S 0 F F * s = A = S rectangular S 0 F A = ​​​​S rectangular

5. La figura muestra la dependencia de la fuerza que actúa sobre el cuerpo con respecto al desplazamiento. Determine el trabajo realizado por esta fuerza cuando el cuerpo se mueve 20 cm. A) 20J. B) 8J. C) 0,8J. D) 40J. E) 0,4J. trampa cm en metros

Calcular la carga 4 I,A 6 2 U,B 4 8 12 16 20 24 Calcular la resistencia Calcular A, Δ Ek durante 4 s Calcular Er del resorte

6. Bajo la influencia de una fuerza variable, un cuerpo de 1 kg de masa cambia su proyección de velocidad con el tiempo, como se muestra en la figura. Es difícil determinar el trabajo de la resultante de esta fuerza 8 segundos después del inicio del movimiento A) 512J B) 128J C) 112J D) 64J E) 132J A=FS , S= S (t=4c) =32m , F =ma, a =(v -v0)t=2 m/s 2

conclusión Como resultado de nuestro trabajo, publicamos un folleto con tareas gráficas para una solución independiente y creamos un juego electrónico. El trabajo resultó útil para prepararse para el Examen Estatal Unificado, así como para estudiantes interesados ​​​​en física. En el futuro, consideración de otro tipo de problemas y su solución.

Dependencias funcionales de cantidades físicas. Métodos generales, técnicas y reglas de enfoque para la resolución de problemas gráficos del proyecto “TALKING LINE” Escuela secundaria MBOU No. 8 Yuzhno-Sakhalinsk Realizado por: Semyonov Vladislav, Ivasiro Alexander, estudiantes del noveno grado “A”

Fuentes de información. 1. Lukashik V.I., Ivanova E.V. Colección de problemas de física. Moscú “Ilustración” 2000 2. Stepanova G.I Colección de problemas de física M. Ilustración 1995 3. Rymkevich A.P Colección de problemas de física Moscú. Educación 1988. 4. www.afportal.ru 5. A.V. Peryshkin, E.M. Gutnik Libro de texto de física para los grados 7, 8 y 9. 6. Materiales GIA 7. S.E. Kamenetsky, V.P. Orekhov Métodos para resolver problemas de física en la escuela secundaria. M: Educación, 1987. 8. V.A. Balazs Problemas de física y métodos para resolverlos. "Ilustración" de Moscú 1983

Los expertos demuestran la ventaja de la educación técnica sobre las humanidades, demuestran que Rusia necesita urgentemente ingenieros y especialistas técnicos altamente calificados, y esta tendencia continuará no sólo en 2014, sino también en los próximos años. Según los especialistas en selección de personal, si el país espera un crecimiento económico en los próximos años (y existen requisitos previos para ello), es muy probable que la base educativa rusa no pueda hacer frente a muchos sectores (alta tecnología, industria). . "En este momento, en el mercado laboral hay una grave escasez de especialistas en el campo de la ingeniería y especialidades técnicas, en el campo de TI: programadores, desarrolladores de software. Sigue habiendo demanda de ingenieros de casi todas las especializaciones. Al mismo tiempo, el mercado está saturado de abogados, economistas, periodistas y psicólogos”, afirma Ekaterina Krupina, directora general de la Agencia de Contratación de Especialistas Únicos. Los analistas, que hacen previsiones a largo plazo hasta 2020, confían en que la demanda de especialidades técnicas crecerá rápidamente cada año. Relevancia del problema. Por lo tanto, la calidad de la preparación para el Examen Estatal Unificado de Física es importante. Dominar los métodos para resolver problemas físicos es crucial. Una variedad de tareas físicas son tareas gráficas. 1) Resolver y analizar problemas gráficos le permite comprender y recordar las leyes y fórmulas básicas de la física. 2) En los KIM para el Examen Estatal Unificado de Física se incluyen tareas con contenido gráfico.

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OBJETIVO DEL TRABAJO DEL PROYECTO:

Estudiar los tipos de problemas gráficos, variedades, características y métodos de solución. .

OBJETIVOS DEL TRABAJO:

1. Estudiar literatura sobre tareas gráficas; 2. Estudio de los materiales del Examen Estatal Unificado (prevalencia y nivel de complejidad de las tareas gráficas); 3. Estudio de problemas gráficos generales y específicos de diferentes ramas de la física, grado de complejidad. 4. Estudio de métodos de solución; 5. Realización de una encuesta sociológica entre alumnos y profesores de la escuela.

problema de fisica

En la literatura metodológica y educativa, las tareas físicas educativas se entienden como ejercicios adecuadamente seleccionados, cuyo objetivo principal es estudiar fenómenos físicos, formar conceptos, desarrollar el pensamiento físico de los estudiantes e inculcarles la capacidad de aplicar sus conocimientos en la práctica.

Enseñar a los estudiantes a resolver problemas físicos es uno de los problemas pedagógicos más difíciles. Creo que este problema es muy relevante. Mi proyecto pretende resolver dos problemas:

1. Ayuda a enseñar a los escolares la capacidad de resolver problemas gráficos;

2. Involucrar a los estudiantes en este tipo de trabajos.

Resolver y analizar un problema le permite comprender y recordar las leyes y fórmulas básicas de la física, crear una idea de sus rasgos característicos y límites de aplicación. Los problemas desarrollan habilidades para utilizar las leyes generales del mundo material para resolver cuestiones específicas de importancia práctica y educativa. La capacidad de resolver problemas es el mejor criterio para evaluar la profundidad del estudio del material del programa y su asimilación.

En estudios para identificar el grado en que los estudiantes dominan las operaciones individuales incluidas en la capacidad de resolver problemas, se ha encontrado que entre el 30 y el 50% de los estudiantes en varias clases indican que carecen de tales habilidades.

La incapacidad para resolver problemas es una de las principales razones del menor éxito en el estudio de la física. Los estudios han demostrado que la incapacidad para resolver problemas de forma independiente es la razón principal por la que los estudiantes no completan las tareas de manera irregular. Sólo una pequeña parte de los estudiantes domina la capacidad de resolver problemas, que consideran una de las condiciones más importantes para mejorar la calidad del conocimiento en física.

Este estado de la práctica del aprendizaje puede explicarse por la falta de requisitos claros para la formación de esta habilidad, la falta de motivaciones internas y de interés cognitivo entre los estudiantes.

La resolución de problemas en el proceso de enseñanza de la física tiene funciones multifacéticas:

• Dominar los conocimientos teóricos.
• Dominar los conceptos de fenómenos y cantidades físicas.
• Desarrollo mental, pensamiento creativo y habilidades especiales de los estudiantes.
• Introduce a los estudiantes a los logros de la ciencia y la tecnología.
• Desarrolla el trabajo duro, la perseverancia, la voluntad, el carácter y la determinación.
• Es un medio de seguimiento de los conocimientos, habilidades y capacidades de los estudiantes.

Tarea gráfica.

Las tareas gráficas son aquellas tareas en el proceso de resolución de las cuales se utilizan gráficos, diagramas, tablas, dibujos y diagramas.

Por ejemplo:

1. Construya una gráfica de la trayectoria del movimiento uniforme si v = 2 m/s o del movimiento uniformemente acelerado si v 0 = 5 m/s y a = 3 m/s 2.

2. ¿Qué fenómenos caracterizan cada parte de la gráfica...

3. ¿Qué cuerpo se mueve más rápido?

4. ¿En qué zona se movió más rápido el cuerpo?

5. Determina la distancia recorrida a partir de la gráfica de velocidad.

6. ¿En qué parte del movimiento estaba el cuerpo en reposo? La velocidad aumentó y disminuyó.

Resolver problemas gráficos ayuda a comprender la relación funcional entre cantidades físicas, desarrollar habilidades para trabajar con gráficas y desarrollar la capacidad de trabajar con escalas.

Según el papel de los gráficos en la resolución de problemas, se pueden dividir en dos tipos: - problemas cuya respuesta a la pregunta se puede encontrar como resultado de la construcción de un gráfico; - tareas cuya respuesta se puede encontrar analizando el gráfico.

Las tareas gráficas se pueden combinar con las experimentales.

Por ejemplo:

Usando un vaso lleno de agua, determine el peso de un bloque de madera...

Preparación para la resolución de problemas gráficos.

Para resolver problemas gráficos, el estudiante debe conocer varios tipos de dependencias funcionales, lo que significa la intersección de gráficas con ejes y gráficas entre sí. Debe comprender en qué se diferencian las dependencias, por ejemplo, x = x 0 + vt y x = v 0 t + at 2 /2 o x = x m sinω 0 t y x = - x m sinω 0 t; x =x m pecado(ω 0 t+ α) y x =x m cos (ω 0 t+ α), etc.

El plan de preparación debe contener las siguientes secciones:

· a) Repetir gráficas de funciones (lineal, cuadrática, potencia) · b) Averiguar qué papel juegan las gráficas en física, qué información contienen. · c) Sistematizar problemas físicos según la significación de los gráficos en los mismos. · d) Estudiar métodos y técnicas para el análisis de gráficos físicos · e) Desarrollar un algoritmo para la resolución de problemas gráficos en diversas ramas de la física · f) Conocer el patrón general en la resolución de problemas gráficos. Para dominar los métodos de resolución de problemas, es necesario resolver una gran cantidad de diferentes tipos de problemas, observando el principio: "De simple a complejo". Comenzando por los simples, dominar los métodos de solución, comparar, generalizar diferentes problemas tanto a partir de gráficos como de tablas, diagramas, diagramas. Debe prestar atención a la designación de cantidades a lo largo de los ejes de coordenadas (unidades de cantidades físicas, presencia de prefijos submúltiplos o múltiples), la escala, el tipo de dependencia funcional (lineal, cuadrática, logarítmica, trigonométrica, etc.), la ángulos de inclinación de las gráficas, los puntos de intersección de las gráficas con ejes de coordenadas o gráficas entre sí. Es necesario abordar con especial cuidado los problemas con “errores” inherentes, así como los problemas con fotografías de escalas de instrumentos de medición. En este caso, es necesario determinar correctamente el valor de división de los instrumentos de medición y leer con precisión los valores de las cantidades medidas. En problemas que involucran óptica geométrica, es especialmente importante construir rayos con cuidado y precisión y determinar sus intersecciones con los ejes y entre sí.

Cómo resolver problemas gráficos

Dominar el algoritmo general para la resolución de problemas físicos.

1. Realizar un análisis de las condiciones del problema con la identificación de las tareas, fenómenos y procesos del sistema descritos en el problema, con la determinación de las condiciones para su ocurrencia.

2. Codificar las condiciones del problema y el proceso de solución en varios niveles:

a) una breve descripción de las condiciones del problema;

b) realizar dibujos y esquemas eléctricos;

c) ejecución de dibujos, gráficos, diagramas vectoriales;

d) escribir una ecuación (sistema de ecuaciones) o construir una conclusión lógica

3. Identificación del método y métodos apropiados para resolver un problema específico.

4. Aplicación de un algoritmo general para resolver problemas de diversos tipos

La solución del problema comienza con la lectura de las condiciones. Debe asegurarse de que todos los términos y conceptos de la condición sean claros para los estudiantes. Los términos poco claros se aclaran después de la lectura inicial. Al mismo tiempo, es necesario resaltar qué fenómeno, proceso o propiedad de los cuerpos se describe en el problema. Luego se vuelve a leer el problema, pero con los datos y las cantidades requeridas resaltados. Y sólo después de esto se realiza un breve registro de las condiciones del problema.

Planificación

La acción de orientación permite un análisis secundario de las condiciones percibidas de la tarea, como resultado de lo cual se identifican teorías físicas, leyes, ecuaciones que explican una tarea específica. Luego se identifican los métodos para resolver problemas de una clase y se encuentra el método óptimo para resolver este problema. El resultado de la actividad de los estudiantes es un plan de solución, que incluye una cadena de acciones lógicas. Se monitorea la corrección de las acciones para la elaboración de un plan de solución del problema.

Proceso de solución

En primer lugar, es necesario aclarar el contenido de las acciones ya conocidas. La acción de orientación en esta etapa pasa por resaltar una vez más el método de resolución del problema y aclarar el tipo de problema a resolver mediante el método de fijación de condiciones. El siguiente paso es la planificación. Se planifica un método para resolver el problema, un aparato (lógico, matemático, experimental) con cuya ayuda es posible llevar a cabo su solución posterior.

Análisis de soluciones

La última etapa del proceso de resolución de problemas es comprobar el resultado obtenido. Se vuelve a realizar mediante las mismas acciones, pero el contenido de las acciones cambia. La acción de orientación es descubrir la esencia de lo que hay que comprobar. Por ejemplo, los resultados de la solución pueden ser los valores de coeficientes, características físicas constantes de mecanismos y máquinas, fenómenos y procesos.

El resultado obtenido al resolver el problema debe ser plausible y coherente con el sentido común.

Prevalencia de tareas gráficas en máquinas de simulación por ordenador en tareas de Exámenes Unificados del Estado

El estudio de los materiales del Examen Estatal Unificado durante varios años (2004 - 2013) mostró que los problemas gráficos en varias secciones de la física son comunes en las tareas del Examen Estatal Unificado en varias secciones de la física. En tareas A: en mecánica - 2-3 en física molecular - 1 en termodinámica - 3 en electrodinámica - 3-4 en óptica - 1-2 en física cuántica - 1 en física atómica y nuclear - 1 En tareas B: en mecánica - 1 en física molecular - 1 en termodinámica - 1 en electrodinámica - 1 en óptica - 1 en física cuántica - 1 en física atómica y nuclear - 1 en tareas C: en mecánica - en física molecular - en termodinámica - 1 en electrodinámica - 1 en óptica - 1 en física cuántica - en física atómica y nuclear - 1

Nuestra investigación

A. Análisis de errores en la resolución de problemas gráficos.

El análisis de la resolución de problemas gráficos mostró que ocurren los siguientes errores comunes:

Errores en la lectura de gráficos;

Errores en operaciones con cantidades vectoriales;

Errores al analizar gráficos de isoprocesos;

Errores en la dependencia gráfica de cantidades eléctricas;

Errores al construir utilizando las leyes de la óptica geométrica;

Errores en tareas gráficas sobre leyes cuánticas y efecto fotoeléctrico;

Errores en la aplicación de las leyes de la física atómica.

B. Encuesta sociológica

Para saber cómo los escolares conocen las tareas gráficas, realizamos una encuesta sociológica.

Le hicimos a los estudiantes y profesores de nuestra escuela las siguientes preguntas: perfiles:

1. 1. ¿Qué es una tarea de gráficos?

a) problemas con las imágenes;

b) tareas que contienen diagramas, diagramas;

c) No lo sé.

1. 2. ¿Para qué sirven las tareas gráficas?

b) desarrollar la capacidad de construir gráficos;

c) No lo sé.

3. ¿Puedes resolver problemas gráficos?

a) sí; b) no; c) no estoy seguro ;

4. ¿Quieres aprender a resolver problemas gráficos?

A) si ; b) no; c) Me resulta difícil responder.

Se entrevistó a 50 personas. Como resultado de la encuesta se obtuvieron los siguientes datos:

CONCLUSIONES:

1. Como resultado de trabajar en el proyecto "Tareas gráficas", estudiamos las características de las tareas gráficas.
2. Estudiamos las características de la metodología para la resolución de problemas gráficos.
3. Analizamos errores típicos.
4. Realizó una encuesta sociológica.

Reflexión de la actividad:

1. Para nosotros fue interesante trabajar en el problema de las tareas gráficas.
2. Aprendimos cómo realizar actividades de investigación, comparar y contrastar los resultados de la investigación.
3. Descubrimos que el dominio de los métodos para resolver problemas gráficos es necesario para comprender los fenómenos físicos.
4. Descubrimos que para aprobar con éxito el Examen Estatal Unificado es necesario dominar los métodos de resolución de problemas gráficos.

Si un problema de programación lineal tiene sólo dos variables, entonces se puede resolver gráficamente.

Considere un problema de programación lineal con dos variables y:
(1.1) ;
(1.2)
Aquí hay números arbitrarios. La tarea puede ser encontrar el máximo (max) o encontrar el mínimo (min). El sistema de restricciones puede contener tanto señales como señales.

Construcción del dominio de soluciones factibles.

El método gráfico para resolver el problema (1) es el siguiente.
Primero, dibujamos los ejes de coordenadas y seleccionamos la escala. Cada una de las desigualdades del sistema de restricciones (1.2) define un semiplano acotado por la recta correspondiente.

Entonces, la primera desigualdad
(1.2.1)
define un semiplano limitado por una línea recta. A un lado de esta línea recta y al otro lado. En línea muy recta. Para saber de qué lado se cumple la desigualdad (1.2.1), elegimos un punto arbitrario que no se encuentra en la recta. A continuación, sustituimos las coordenadas de este punto en (1.2.1). Si se cumple la desigualdad, entonces el semiplano contiene el punto seleccionado. Si la desigualdad no se cumple, entonces el semiplano se encuentra en el otro lado (no contiene el punto seleccionado). Sombrea el semiplano para el cual se cumple la desigualdad (1.2.1).

Hacemos lo mismo para las desigualdades restantes del sistema (1.2). De esta forma obtenemos semiplanos sombreados. Los puntos de la región de soluciones factibles satisfacen todas las desigualdades (1.2). Por lo tanto, gráficamente, la región de soluciones factibles (ADA) es la intersección de todos los semiplanos construidos. Sombreando el ODR. Es un polígono convexo cuyas caras pertenecen a las rectas construidas. Además, un ODF puede ser una figura convexa ilimitada, un segmento, un rayo o una línea recta.

También puede darse el caso de que los semiplanos no contengan puntos comunes. Entonces el dominio de soluciones factibles es el conjunto vacío. Este problema no tiene soluciones.

El método se puede simplificar. No es necesario sombrear cada semiplano, pero primero construye todas las líneas rectas.
(2)
A continuación, seleccione un punto arbitrario que no pertenezca a ninguna de estas líneas. Sustituye las coordenadas de este punto en el sistema de desigualdades (1.2). Si se satisfacen todas las desigualdades, entonces la región de soluciones factibles está limitada por las líneas rectas construidas e incluye el punto seleccionado. Sombreamos la región de soluciones factibles a lo largo de los límites de las líneas para que incluya el punto seleccionado.

Si no se satisface al menos una desigualdad, se elige otro punto. Y así sucesivamente hasta encontrar un punto cuyas coordenadas satisfagan el sistema (1.2).

Encontrar el extremo de la función objetivo.

Entonces, tenemos una región sombreada de soluciones factibles (ADA). Está limitado por una línea discontinua formada por segmentos y rayos pertenecientes a las rectas construidas (2). El ODS es siempre un conjunto convexo. Puede ser un conjunto acotado o no acotado en algunas direcciones.

Ahora podemos buscar el extremo de la función objetivo.
(1.1) .

Para hacer esto, elige cualquier número y construye una línea recta.
(3) .
Para facilitar una presentación adicional, asumimos que esta línea recta pasa por el ODR. En esta línea la función objetivo es constante e igual a . Esta línea recta se llama línea de nivel de función. Esta recta divide el plano en dos semiplanos. En un semiplano
.
En otro semiplano
.
Es decir, a un lado de la recta (3) la función objetivo aumenta. Y cuanto más alejemos el punto de la recta (3), mayor será el valor. Al otro lado de la recta (3), la función objetivo disminuye. Y cuanto más muevamos el punto desde la recta (3) hacia el otro lado, menor será el valor. Si trazamos una recta paralela a la recta (3), entonces la nueva recta también será una recta de nivel de la función objetivo, pero con un valor diferente.

Así, para encontrar el valor máximo de la función objetivo, es necesario trazar una recta paralela a la recta (3), lo más alejada posible de ella en la dirección de los valores crecientes, y que pase por al menos un punto. del IMPAR. Para encontrar el valor mínimo de la función objetivo es necesario trazar una recta paralela a la recta (3) y lo más alejada posible de ella en el sentido de los valores decrecientes, y que pase por al menos un punto del ODD.

Si el ODR es ilimitado, entonces puede surgir el caso en que no se pueda trazar esa línea directa. Es decir, no importa cómo retiremos la línea recta de la línea de nivel (3) en la dirección de aumento (disminución), la línea recta siempre pasará por el ODR. En este caso puede ser arbitrariamente grande (pequeño). Por tanto, no existe un valor máximo (mínimo). El problema no tiene soluciones.

Consideremos el caso en el que la línea extrema paralela a una línea arbitraria de la forma (3) pasa por un vértice del polígono ODR. A partir del gráfico determinamos las coordenadas de este vértice. Entonces el valor máximo (mínimo) de la función objetivo está determinado por la fórmula:
.
La solución al problema es
.

También puede darse el caso de que la línea recta sea paralela a una de las caras del ODR. Luego, la línea recta pasa por dos vértices del polígono ODR. Determinamos las coordenadas de estos vértices. Para determinar el valor máximo (mínimo) de la función objetivo, puede utilizar las coordenadas de cualquiera de estos vértices:
.
El problema tiene infinitas soluciones. La solución es cualquier punto ubicado en el segmento entre los puntos y , incluidos los puntos y ellos mismos.

Un ejemplo de resolución de un problema de programación lineal utilizando el método gráfico.

La tarea

La empresa produce vestidos de dos modelos A y B. Se utilizan tres tipos de tejidos. Para hacer un vestido del modelo A se necesitan 2 m de tela del primer tipo, 1 m de tela del segundo tipo, 2 m de tela del tercer tipo. Para hacer un vestido del modelo B se necesitan 3 m de tela del primer tipo, 1 m de tela del segundo tipo, 2 m de tela del tercer tipo. Las existencias de tejido del primer tipo son de 21 m, del segundo tipo de 10 m y del tercer tipo de 16 m. La producción de un producto del tipo A genera unos ingresos de 400 den. unidades, un producto tipo B - 300 den. unidades

Elaborar un plan de producción que proporcione a la empresa los mayores ingresos. Resuelve el problema gráficamente.

Solución

Sean las variables y denotan el número de vestidos producidos, modelos A y B, respectivamente. Entonces la cantidad de tejido del primer tipo consumida será:
(metro)
La cantidad de tejido del segundo tipo consumida será:
(metro)
La cantidad de tejido del tercer tipo consumida será:
(metro)
Como el número de vestidos producidos no puede ser negativo, entonces
Y .
Los ingresos por los vestidos producidos serán:
(unidades de densidad)

Entonces el modelo económico-matemático del problema tiene la forma:

Lo solucionamos gráficamente.
Dibujamos los ejes de coordenadas y .

Estamos construyendo una línea recta.
En .
En .
Traza una línea recta que pase por los puntos (0; 7) y (10,5; 0).

Estamos construyendo una línea recta.
En .
En .
Traza una línea recta que pase por los puntos (0; 10) y (10; 0).

Estamos construyendo una línea recta.
En .
En .
Dibuja una línea recta que pase por los puntos (0; 8) y (8; 0).

Sombreamos el área para que el punto (2; 2) caiga en la parte sombreada. Obtenemos el cuadrilátero OABC.

(A1.1) .
En .
En .
Traza una línea recta que pase por los puntos (0; 4) y (3; 0).

Observamos además que dado que los coeficientes de y de la función objetivo son positivos (400 y 300), aumenta a medida que aumenta. Trazamos una recta paralela a la recta (A1.1), lo más alejada posible de ella en sentido creciente y que pase por al menos un punto del cuadrilátero OABC. Dicha línea pasa por el punto C. A partir de la construcción determinamos sus coordenadas.
.

La solución del problema: ;

Respuesta

.
Es decir, para obtener el mayor ingreso es necesario confeccionar 8 vestidos del modelo A. El ingreso será de 3200 den. unidades

Ejemplo 2

La tarea

Resolver gráficamente un problema de programación lineal.

Solución

Lo solucionamos gráficamente.
Dibujamos los ejes de coordenadas y .

Estamos construyendo una línea recta.
En .
En .
Traza una línea recta que pase por los puntos (0; 6) y (6; 0).

Estamos construyendo una línea recta.
De aquí.
En .
En .
Traza una línea recta que pase por los puntos (3; 0) y (7; 2).

Estamos construyendo una línea recta.
Construimos una línea recta (eje de abscisas).

La región de soluciones admisibles (ADA) está limitada por las líneas rectas construidas. Para saber de qué lado, notamos que el punto pertenece a la ODR, ya que satisface el sistema de desigualdades:

Sombreamos el área a lo largo de los límites de las líneas construidas para que el punto (4; 1) caiga en la parte sombreada. Obtenemos el triángulo ABC.

Construimos una línea arbitraria del nivel de la función objetivo, por ejemplo,
.
En .
En .
Dibuje una línea recta y nivelada que pase por los puntos (0; 6) y (4; 0).
Dado que la función objetivo aumenta al aumentar y , trazamos una línea recta paralela a la línea de nivel y lo más lejos posible de ella en la dirección de aumentar , y que pase por al menos un punto del triángulo ABC. Dicha línea pasa por el punto C. A partir de la construcción determinamos sus coordenadas.
.

La solución del problema: ;

Respuesta

Ejemplo de no solución

La tarea

Resolver gráficamente un problema de programación lineal. Encuentre el valor máximo y mínimo de la función objetivo.

Solución

Resolvemos el problema gráficamente.
Dibujamos los ejes de coordenadas y .

Estamos construyendo una línea recta.
En .
En .
Traza una línea recta que pase por los puntos (0; 8) y (2.667; 0).

Estamos construyendo una línea recta.
En .
En .
Traza una línea recta que pase por los puntos (0; 3) y (6; 0).

Estamos construyendo una línea recta.
En .
En .
Traza una línea recta que pase por los puntos (3; 0) y (6; 3).

Las líneas rectas son los ejes de coordenadas.

La región de soluciones admisibles (ADA) está limitada por las líneas rectas construidas y los ejes de coordenadas. Para saber de qué lado, notamos que el punto pertenece a la ODR, ya que satisface el sistema de desigualdades:

Sombreamos el área para que el punto (3; 3) caiga en la parte sombreada. Obtenemos un área ilimitada delimitada por la línea discontinua ABCDE.

Construimos una línea arbitraria del nivel de la función objetivo, por ejemplo,
(A3.1) .
En .
En .
Traza una línea recta que pase por los puntos (0; 7) y (7; 0).
Dado que los coeficientes de y son positivos, aumenta al aumentar y .

Para encontrar el máximo, es necesario trazar una línea paralela, que esté lo más alejada posible en la dirección creciente y que pase por al menos un punto de la región ABCDE. Sin embargo, dado que el área es ilimitada en el lado de valores grandes de y , no se puede trazar una línea tan recta. No importa qué línea dibujemos, siempre habrá puntos en la región que estén más distantes en la dirección de aumentar y . Por tanto no hay máximo. puedes hacerlo tan grande como quieras.

Buscamos el mínimo. Trazamos una recta paralela a la recta (A3.1) y lo más alejada posible de ella en sentido decreciente y que pase por al menos un punto de la región ABCDE. Dicha línea pasa por el punto C. A partir de la construcción determinamos sus coordenadas.
.
Valor mínimo de la función objetivo:

Respuesta

No existe un valor máximo.
Valor mínimo
.

A menudo, una representación gráfica de un proceso físico lo hace más visual y, por tanto, facilita la comprensión del fenómeno considerado. A veces, al permitir simplificar significativamente los cálculos, los gráficos se utilizan ampliamente en la práctica para resolver diversos problemas. La capacidad de construirlos y leerlos es obligatoria para muchos especialistas en la actualidad.

Consideramos las siguientes tareas como tareas gráficas:

• para la construcción, donde los dibujos y dibujos son de gran ayuda;
• esquemas resueltos mediante vectores, gráficas, diagramas, diagramas y nomogramas.

1) La pelota se lanza verticalmente hacia arriba desde el suelo con una velocidad inicial. v o. Traza una gráfica de la velocidad de la pelota versus el tiempo, suponiendo que los impactos en el suelo son perfectamente elásticos. Desprecie la resistencia del aire. [solución ]

2) Un pasajero que llegó tarde al tren notó que el penúltimo vagón lo pasó t 1 = 10 s, y el último - para t 2 = 8 s. Suponiendo que el movimiento del tren se acelera uniformemente, determine el tiempo de retraso. [solución ]

3) En una habitación alta h un resorte ligero con rigidez está unido al techo en un extremo k, que tiene una longitud en estado no deformado lo (lo< H ). Se coloca un bloque de altura en el suelo debajo del resorte. X con área de base S, hecho de material con una densidad ρ . Construya una gráfica de la presión del bloque sobre el piso versus la altura del bloque. [solución ]

4) El error se arrastra a lo largo del eje. Buey. Determine la velocidad promedio de su movimiento en el área entre los puntos con coordenadas. x 1 = 1,0 m Y x2 = 5,0m, si se sabe que el producto de la velocidad del insecto por su coordenada permanece constante todo el tiempo, igual a c = 500 cm 2 /s. [solución ]

5) A un bloque de masa 10 kilogramos Se aplica una fuerza a una superficie horizontal. Considerando que el coeficiente de fricción es igual a 0,7 , definir:

• fuerza de fricción para el caso si F = 50 N y dirigido horizontalmente.
• fuerza de fricción para el caso si F = 80 N y dirigido horizontalmente.
• Dibuja una gráfica de la aceleración del bloque versus la fuerza aplicada horizontalmente.
• ¿Cuál es la fuerza mínima necesaria para tirar de la cuerda para mover el bloque de manera uniforme? [solución ]

6) Hay dos tubos conectados al mezclador. Cada tubería tiene un grifo que se puede utilizar para regular el flujo de agua a través de la tubería, cambiándolo de cero al valor máximo. J o = 1 l/s. El agua fluye en tuberías a temperaturas. t1 = 10°C Y t2 = 50°C. Traza una gráfica del flujo máximo de agua que sale del mezclador versus la temperatura de esa agua. Desprecie las pérdidas de calor. [solución ]

7) A última hora de la noche, un joven alto. h camina a lo largo del borde de una acera recta horizontal a una velocidad constante v. A distancia yo Hay una farola al borde de la acera. La linterna encendida está fijada a una altura. h desde la superficie de la tierra. Construya una gráfica de la velocidad de movimiento de la sombra de la cabeza de una persona dependiendo de la coordenada. X. [solución ]