على النحو التالي:
ق = ½ * أ * ح،
أين:
س - مساحة المثلث،
a هو طول ضلعه،
h هو الارتفاع الذي تم خفضه إلى هذا الجانب.
يجب تقديم طول الجانب وارتفاعه بنفس وحدات القياس. في هذه الحالة، سيتم الحصول على مساحة المثلث بالوحدات "" المقابلة.
مثال.
على أحد جانبي مثلث مختلف الأضلاع طوله 20 سم، يتم إنزال عمودي من الرأس المقابل طوله 10 سم.
مساحة المثلث مطلوبة .
حل.
ق = ½ * 20 * 10 = 100 (سم²).
إذا كان طول أي ضلعين في مثلث مختلف الأضلاع والزاوية بينهما معروفة، فاستخدم الصيغة:
S = ½ * أ * ب * الخطيئة،
حيث: a، b هما طولا ضلعين عشوائيين، وγ هي قيمة الزاوية بينهما.
من الناحية العملية، على سبيل المثال، عند قياس مساحة الأرض، يكون استخدام الصيغ المذكورة أعلاه صعبًا في بعض الأحيان، لأنه يتطلب إنشاءًا إضافيًا وقياس الزوايا.
إذا كنت تعرف أطوال الأضلاع الثلاثة للمثلث المختلف الأضلاع، فاستخدم صيغة هيرون:
S = √(ع(ع-أ)(ص-ب)(ص-ج))،
أ، ب، ج - أطوال أضلاع المثلث،
ص – نصف المحيط: ع = (أ+ب+ج)/2.
إذا كان نصف قطر الدائرة الموضحة في المثلث معروفًا، بالإضافة إلى أطوال جميع أضلاعه، فاستخدم الصيغة المدمجة التالية:
حيث: r - نصف قطر الدائرة المنقوشة (ص - نصف المحيط).
لحساب مساحة مثلث مختلف الأضلاع باستخدام نصف قطر الدائرة وطول أضلاعها، استخدم الصيغة:
حيث: R – نصف قطر الدائرة المحدودة.
إذا كان طول أحد أضلاع المثلث وقيم الزوايا الثلاث معروفة (من حيث المبدأ، يكفي اثنتان - يتم حساب قيمة الثالثة من تساوي مجموع زوايا المثلث الثلاث - 180 درجة)، ثم استخدم الصيغة:
S = (أ² * الخطيئة β * الخطيئة γ) / 2 الخطيئة α،
حيث α هي قيمة الزاوية المقابلة للجانب أ؛
β, γ – قيم الزاويتين المتبقيتين للمثلث.
المثلث المنتظم هو مثلث له ثلاثة أضلاع متساوية. وله الخصائص التالية: جميع أضلاع المثلث المنتظم متساوية مع بعضها البعض، وجميع الزوايا تساوي 60 درجة. المثلث المنتظم هو متساوي الساقين.
سوف تحتاج
- معرفة الهندسة.
تعليمات
دعونا نعطي جانبًا من مثلث منتظم طوله a=7. بمعرفة جانب هذا المثلث، يمكنك بسهولة حساب مساحته. لهذا، يتم استخدام ما يلي: S = (3^(1/2)*a^2)/4. دعنا نستبدل القيمة a=7 في هذه الصيغة ونحصل على ما يلي: S = (7*7*3^1/2)/4 = 49 * 1.7 / 4 = 20.82. وبذلك وجدنا أن مساحة المثلث متساوي الأضلاع الذي ضلعه a=7 تساوي S=20.82.
إذا تم تحديد نصف قطر الدائرة، فستبدو كما يلي:
S = 3*3^(1/2)*r^2، حيث r هو نصف قطر الدائرة المنقوشة. اجعل نصف قطر الدائرة المنقوشة r = 4. لنعوضها في الصيغة المكتوبة سابقًا ونحصل على التعبير التالي: S = 3*1.7*4*4 = 81.6. أي أنه إذا كان نصف قطر الدائرة المنقوشة يساوي 4، فإن مساحة المثلث متساوي الأضلاع ستكون 81.6.
مع نصف قطر معروف للدائرة المقيدة، تبدو صيغة مساحة المثلث كما يلي: S = 3*3^(1/2)*R^2/4، حيث R هو نصف قطر الدائرة المقيدة . لنفترض أن R=5، استبدل هذه القيمة في الصيغة: S = 3*1.7*25/4 = 31.9. وتبين أنه مع نصف قطر الدائرة المقيدة يساوي 5، فإن مساحة المثلث هي 31.9.
ملحوظة
مساحة المثلث تكون دائمًا موجبة، وكذلك طول ضلع المثلث ونصف قطر الدوائر المنقوشة والمحددة.
نصائح مفيدة
يختلف نصف قطر الدوائر المنقوشة والمحددة في مثلث متساوي الأضلاع بعامل اثنين، ومع معرفة ذلك، يمكنك تذكر صيغة واحدة فقط، على سبيل المثال، من خلال نصف قطر الدائرة المنقوشة، واشتقاق الصيغة الثانية، من خلال معرفة هذا البيان.
إذا كان طول أحد أضلاع المثلث معروفاً وقيم الزوايا المجاورة له، فيمكن حساب مساحته بعدة طرق. تتضمن كل من صيغ الحساب استخدام وظائف مثلثية، لكن هذا لا ينبغي أن يكون مخيفا - لحسابها، يكفي الوصول إلى الإنترنت، ناهيك عن وجود آلة حاسبة مدمجة في نظام التشغيل.
تعليمات
الخيار الأول لحساب المساحة (S) من الطول المعلوم لأحد الضلعين (A) وقيم الزوايا المجاورة (α و β) يتضمن حساب هذه الزوايا. المساحة في هذه الحالة ستكون مربع طول الضلع المعلوم، مقسومًا على ضعف ظل التمام للزوايا المعلومة: S = A*A/(2*(ctg(α)+ctg(β))). على سبيل المثال، إذا كان طول ضلع معلوم 15 سم، والزاويتان المجاورتان 40° و60°، فإن حساب المساحة سيكون كما يلي: 15*15/(2*(ctg(40)+ctg(60) ))) = 225/(2*(-0.895082918+3.12460562)) = 225/4.4590454 = 50.4592305 سنتيمتر مربع.
يستخدم الخيار الثاني لحساب المساحة جيب الزوايا المعروفة بدلاً من ظل التمام. في هذا الإصدار، المساحة تساوي مربع طول الضلع المعلوم مضروبًا في جيب كل زاوية من الزوايا ومقسمًا على ضعف جيب مجموع هذه الزوايا: S = A*A*sin(α) )*الخطيئة(β)/(2*الخطيئة(α + β) ). على سبيل المثال، لنفس المثلث الذي طول ضلعه المعلوم 15 سم، والزاويتين المتجاورتين 40 درجة و60 درجة، سيبدو حساب المساحة كما يلي: (15*15*sin(40)*sin(60))/( 2* sin(40+60)) = 225*0.74511316*(-0.304810621)/(2*(-0.506365641)) = -51.1016411/-1.01273128 = 50.4592305 سنتيمتر مربع.
الخيار الثالث لحساب مساحة المثلث يستخدم مماسات الزوايا. المساحة ستكون مساوية لمربع طول الضلع المعلوم مضروباً في مماسات كل زاوية ومقسماً على ضعف مجموع مماسات هذه الزوايا: S = A*A*tg(α)*tg (β)/2(tg(α)+tg(β) ). على سبيل المثال، بالنسبة للمثلث المستخدم في الخطوات السابقة والذي طول ضلعه 15 سم وزوايا متجاورة 40° و60°، فإن حساب المساحة سيكون كالتالي: (15*15*tg(40)*tg(60) ))/(2*(tg (40)+tg(60)) = (225*(-1.11721493)*0.320040389)/(2*(-1.11721493+0.320040389)) = -80.4496277/-1.59434908 = 50.4592305 سنتيمتر مربع.
ويمكن إجراء حسابات عملية، على سبيل المثال، باستخدام الآلة الحاسبة لمحرك بحث Google. للقيام بذلك، ما عليك سوى استبدال القيم الرقمية في الصيغ وإدخالها في حقل استعلام البحث.
نصيحة 4: كيفية العثور على مساحة المثلث والمستطيل
المثلث والمستطيل هما أبسط الأشكال الهندسية المستوية في الهندسة الإقليدية. ويوجد داخل المحيط الذي تشكله جوانب هذه المضلعات قسم معين من المستوى، يمكن تحديد مساحته بعدة طرق. يعتمد اختيار الطريقة في كل حالة محددة على المعلمات المعروفة للأرقام.
صيغة المنطقةمن الضروري تحديد مساحة الشكل، وهي دالة ذات قيمة حقيقية محددة على فئة معينة من أشكال المستوى الإقليدي وتلبية 4 شروط:
- الإيجابية - لا يمكن أن تكون المساحة أقل من الصفر؛
- التطبيع - المربع ذو الوحدة الجانبية له مساحة 1؛
- التطابق - الأشكال المتطابقة لها مساحة متساوية؛
- المضافة - مساحة اتحاد رقمين بدون نقاط داخلية مشتركة تساوي مجموع مساحات هذه الأشكال.
| الشكل الهندسي | معادلة | رسم |
|---|---|---|
|
نتيجة جمع المسافات بين منتصف الضلعين المتقابلين للشكل الرباعي المحدب ستكون مساوية لنصف محيطه. |
||
|
قطاع الدائرة. مساحة قطاع الدائرة تساوي حاصل ضرب قوسها ونصف نصف قطرها. |
|
|
|
شريحة الدائرة. للحصول على مساحة المقطع ASB، يكفي طرح مساحة المثلث AOB من مساحة القطاع AOB. |
S = 1/2 R(s - AC) |
|
|
مساحة القطع الناقص تساوي حاصل ضرب أطوال أنصاف المحاور الكبرى والصغرى للقطع الناقص والرقم pi. |
|
|
|
الشكل البيضاوي. خيار آخر لحساب مساحة القطع الناقص هو من خلال اثنين من أنصاف أقطارها. |
|
|
|
مثلث. من خلال القاعدة والارتفاع. صيغة مساحة الدائرة باستخدام نصف قطرها وقطرها. |
||
|
مربع . من خلال جانبه. مساحة المربع تساوي مربع طول ضلعه. |
|
|
|
مربع. من خلال أقطارها. مساحة المربع تساوي نصف مربع طول قطره. |
||
|
مضلع منتظم. لتحديد مساحة المضلع المنتظم، من الضروري تقسيمه إلى مثلثات متساوية يكون لها قمة مشتركة في وسط الدائرة المنقوشة. |
S= ص ص = 1/2 ص ن أ |
مفهوم المنطقة
سيتم ربط مفهوم مساحة أي شكل هندسي، وخاصة المثلث، بشكل مثل المربع. بالنسبة لوحدة مساحة أي شكل هندسي سنأخذ مساحة المربع الذي طول ضلعه يساوي واحدًا. وللإكتمال، دعونا نتذكر خاصيتين أساسيتين لمفهوم مساحات الأشكال الهندسية.
الخاصية 1:إذا كانت الأشكال الهندسية متساوية، فإن مساحاتها متساوية أيضًا.
الخاصية 2:يمكن تقسيم أي شخصية إلى عدة أرقام. علاوة على ذلك، فإن مساحة الشكل الأصلي تساوي مجموع مساحات جميع الأشكال المكونة له.
لنلقي نظرة على مثال.
مثال 1
من الواضح أن أحد أضلاع المثلث هو قطري لمستطيل، يبلغ طول أحد جانبيه $5$ (نظرًا لوجود خلايا $5$)، والآخر يبلغ طوله $6$ (نظرًا لوجود خلايا $6$). وبالتالي فإن مساحة هذا المثلث ستكون مساوية لنصف هذا المستطيل. مساحة المستطيل هي
ثم مساحة المثلث تساوي
الجواب: 15 دولارا.
بعد ذلك، سنتناول عدة طرق لإيجاد مساحات المثلثات، وهي استخدام الارتفاع والقاعدة، باستخدام صيغة هيرون ومساحة المثلث متساوي الأضلاع.
كيفية العثور على مساحة المثلث باستخدام ارتفاعه وقاعدته
النظرية 1
يمكن إيجاد مساحة المثلث بنصف حاصل ضرب طول الضلع والارتفاع إلى ذلك الجانب.
رياضيا يبدو مثل هذا
$S=\frac(1)(2)αh$
حيث $a$ هو طول الجانب، $h$ هو الارتفاع المرسوم عليه.
دليل.
خذ بعين الاعتبار المثلث $ABC$ الذي فيه $AC=α$. يتم رسم الارتفاع $BH$ إلى هذا الجانب، وهو ما يساوي $h$. دعونا نبنيه حتى المربع $AXYC$ كما في الشكل 2.
مساحة المستطيل $AXBH$ هي $h\cdot AH$، ومساحة المستطيل $HBYC$ هي $h\cdot HC$. ثم
$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$، $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$
وبالتالي فإن المساحة المطلوبة للمثلث، حسب الخاصية 2، تساوي
$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ فارك(1)(2)αh$
لقد تم إثبات النظرية.
مثال 2
أوجد مساحة المثلث في الشكل أدناه إذا كانت مساحة الخلية تساوي واحدًا
قاعدة هذا المثلث تساوي 9$ (بما أن 9$ هي 9$ مربعات). الارتفاع أيضًا 9 دولارات. ثم، من خلال النظرية 1، نحصل على
$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40.5$
الجواب: 40.5 دولار.
صيغة هيرون
النظرية 2
إذا حصلنا على ثلاثة أضلاع للمثلث $α$ و$β$ و$γ$، فيمكن إيجاد مساحته على النحو التالي
$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
هنا $ρ$ تعني نصف محيط هذا المثلث.
دليل.
خذ بعين الاعتبار الشكل التالي:
وبواسطة نظرية فيثاغورس، نحصل على المثلث $ABH$
من المثلث $CBH$، وفقًا لنظرية فيثاغورس، لدينا
$h^2=α^2-(β-x)^2$
$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$
ومن هاتين العلاقتين نحصل على المساواة
$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$
$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$
$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$
$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$
$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$
بما أن $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$، ثم $α+β+γ=2ρ$، وهو ما يعني
$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$
$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$
$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$
$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
بواسطة النظرية 1، نحصل على
$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
مساحة المثلث - صيغ وأمثلة لحل المشكلات
هي أقل صيغ لإيجاد مساحة المثلث التعسفيوهي مناسبة لإيجاد مساحة أي مثلث بغض النظر عن خصائصه أو زواياه أو أحجامه. وتعرض الصيغ على شكل صورة مع شرح تطبيقها أو مبررات صحتها. كما يوضح شكل منفصل التطابق بين رموز الحروف في الصيغ والرموز الرسومية في الرسم.
ملحوظة . إذا كان للمثلث خصائص خاصة (متساوي الساقين، مستطيل، متساوي الأضلاع)، فيمكنك استخدام الصيغ الواردة أدناه، بالإضافة إلى صيغ خاصة إضافية صالحة فقط للمثلثات التي لها هذه الخصائص:
- "صيغة لمنطقة المثلث متساوي الأضلاع"
صيغ منطقة المثلث
شرح الصيغ:
أ، ب، ج- أطوال أضلاع المثلث الذي نريد إيجاد مساحته
ص- نصف قطر الدائرة المبينة في المثلث
ر- نصف قطر الدائرة المحيطة بالمثلث
ح- ارتفاع المثلث المخفض إلى الجانب
ص- نصف محيط المثلث، 1/2 مجموع أضلاعه (المحيط)
α
- الزاوية المقابلة للضلع أ من المثلث
β
- الزاوية المقابلة للضلع ب من المثلث
γ
- الزاوية المقابلة للضلع ج من المثلث
ح أ, ح ب , ح ج- ارتفاع المثلث المخفض للأطراف أ، ب، ج
يرجى ملاحظة أن الرموز المعطاة تتوافق مع الشكل أعلاه، بحيث عند حل مشكلة هندسية حقيقية، سيكون من الأسهل عليك بصريًا استبدال القيم الصحيحة في الأماكن الصحيحة في الصيغة.
- مساحة المثلث هي نصف حاصل ضرب ارتفاع المثلث وطول الضلع الذي ينخفض به هذا الارتفاع(فورمولا 1). يمكن فهم صحة هذه الصيغة منطقيا. سيؤدي الارتفاع المنخفض إلى القاعدة إلى تقسيم المثلث التعسفي إلى مثلثين مستطيلين. إذا قمت ببناء كل واحد منهم في مستطيل بأبعاد b و h، فمن الواضح أن مساحة هذه المثلثات ستكون مساوية لنصف مساحة المستطيل بالضبط (Spr = bh)
- مساحة المثلث هي نصف حاصل ضرب ضلعيه وجيب الزاوية بينهما(الصيغة 2) (راجع مثالاً لحل مشكلة باستخدام هذه الصيغة أدناه). على الرغم من أنها تبدو مختلفة عن سابقتها، إلا أنه من السهل أن تتحول إليها. إذا خفضنا الارتفاع من الزاوية B إلى الضلع B، يتبين أن حاصل ضرب الضلع A وجيب الزاوية γ، وفقًا لخصائص الجيب في المثلث القائم الزاوية، يساوي ارتفاع المثلث الذي رسمناه ، والذي يعطينا الصيغة السابقة
- يمكن العثور على مساحة المثلث التعسفي خلال عملنصف نصف قطر الدائرة المبينة فيها بمجموع أطوال جميع أضلاعها(الصيغة 3)، ببساطة، تحتاج إلى ضرب نصف محيط المثلث في نصف قطر الدائرة المنقوشة (يسهل تذكر ذلك)
- يمكن إيجاد مساحة المثلث التعسفي عن طريق قسمة ناتج جميع جوانبه على 4 أنصاف أقطار الدائرة المحيطة به (الصيغة 4)
- الصيغة 5 هي إيجاد مساحة المثلث من خلال أطوال أضلاعه ونصف محيطه (نصف مجموع جميع أضلاعه)
- صيغة هيرون(6) هو تمثيل لنفس الصيغة دون استخدام مفهوم نصف المحيط، فقط من خلال أطوال الأضلاع
- مساحة المثلث التعسفي تساوي حاصل ضرب مربع جانب المثلث وجيب الزوايا المجاورة لهذا الجانب مقسومًا على الجيب المزدوج للزاوية المقابلة لهذا الجانب (الصيغة 7)
- يمكن العثور على مساحة المثلث التعسفي كمنتج لمربعين من الدائرة المحاطة بجيب كل زاوية من زواياه. (الصيغة 8)
- إذا كان طول أحد الضلعين وقيمتي زاويتين متجاورتين معروفتين، فيمكن إيجاد مساحة المثلث كمربع هذا الضلع مقسومًا على المجموع المزدوج لظلال التمام لهذه الزوايا (الصيغة 9)
- إذا كان معروفا فقط طول كل ارتفاع من ارتفاعات المثلث (الصيغة 10)، فإن مساحة هذا المثلث تتناسب عكسيا مع أطوال هذه الارتفاعات، كما هو الحال وفقا لصيغة هيرون
- الصيغة 11 تسمح لك بالحساب مساحة المثلث بناءً على إحداثيات رؤوسه، والتي تم تحديدها كقيم (x;y) لكل من القمم. يرجى ملاحظة أن القيمة الناتجة يجب أن تؤخذ بشكل معياري، حيث أن إحداثيات القمم الفردية (أو حتى جميعها) قد تكون في منطقة القيم السالبة
ملحوظة. فيما يلي أمثلة على حل المسائل الهندسية لإيجاد مساحة المثلث. إذا كنت بحاجة إلى حل مشكلة هندسية غير مشابهة هنا، فاكتب عنها في المنتدى. في الحلول، بدلاً من رمز "الجذر التربيعي"، يمكن استخدام الدالة sqrt()، حيث يكون sqrt هو رمز الجذر التربيعي، ويتم الإشارة إلى التعبير الجذري بين قوسين.في بعض الأحيان يمكن استخدام الرمز للتعبيرات الجذرية البسيطة √
مهمة. أوجد المساحة بمعلومية الجانبين والزاوية بينهما
أضلاع المثلث 5 و 6 سم والزاوية بينهما 60 درجة. أوجد مساحة المثلث.
حل.
لحل هذه المشكلة نستخدم الصيغة رقم اثنين من الجزء النظري من الدرس.
يمكن إيجاد مساحة المثلث من خلال طولي الضلعين وجيب الزاوية بينهما وستكون مساوية
S=1/2 أب سين γ
نظرًا لأن لدينا جميع البيانات اللازمة للحل (وفقًا للصيغة)، فيمكننا فقط استبدال القيم من شروط المشكلة في الصيغة:
س = 1/2 * 5 * 6 * جا 60
في جدول قيم الدوال المثلثية، سنجد ونعوض بقيمة جيب الزاوية 60 درجة في التعبير. وسيكون مساويًا لجذر ثلاثة في اثنين.
س = 15 √3 / 2
إجابة: 7.5 √3 (حسب متطلبات المعلم، يمكنك على الأرجح ترك 15 √3/2)
مهمة. أوجد مساحة المثلث متساوي الأضلاع
أوجد مساحة مثلث متساوي الأضلاع طول ضلعه 3 سم.
حل .
يمكن إيجاد مساحة المثلث باستخدام صيغة هيرون:
S = 1/4 جذر ((أ + ب + ج)(ب + ج - أ)(أ + ج - ب)(أ + ب -ج))
بما أن a = b = c، فإن صيغة مساحة المثلث متساوي الأضلاع تأخذ الشكل:
س = √3 / 4 * أ 2
س = √3 / 4 * 3 2
إجابة: 9 √3 / 4.
مهمة. التغيير في المساحة عند تغيير طول الجوانب
كم مرة ستزداد مساحة المثلث إذا زادت أضلاعه 4 مرات؟
حل.
بما أن أبعاد أضلاع المثلث غير معروفة لنا، لحل المشكلة سنفترض أن أطوال الأضلاع تساوي على التوالي أرقامًا عشوائية a، b، c. ثم، للإجابة على سؤال المشكلة، سنوجد مساحة المثلث المعطى، ثم سنجد مساحة المثلث الذي تكون أضلاعه أكبر بأربعة أضعاف. نسبة مساحات هذه المثلثات ستعطينا إجابة المسألة.
وفيما يلي نقدم شرح نصي لحل المشكلة خطوة بخطوة. ومع ذلك، في النهاية، يتم تقديم هذا الحل نفسه في شكل رسومي أكثر ملاءمة. يمكن للمهتمين النزول على الفور إلى الحلول.
لحل المشكلة، نستخدم صيغة هيرون (انظر أعلاه في الجزء النظري من الدرس). تبدو هكذا:
S = 1/4 جذر ((أ + ب + ج)(ب + ج - أ)(أ + ج - ب)(أ + ب -ج))
(انظر السطر الأول من الصورة أدناه)
يتم تحديد أطوال أضلاع المثلث بواسطة المتغيرات a، b، c.
إذا زادت أضلاعه 4 مرات فإن مساحة المثلث الجديد c ستكون:
S 2 = 1/4 جذر ((4أ + 4ب + 4ج)(4ب + 4ج - 4أ)(4أ + 4ج - 4ب)(4أ + 4ب -4ج))
(انظر السطر الثاني في الصورة أدناه)
كما ترون، 4 هو عامل مشترك يمكن إخراجه من الأقواس من جميع التعبيرات الأربعة وفقا للقواعد العامة للرياضيات.
ثم
S 2 = 1/4 جذر(4 * 4 * 4 * 4 (أ + ب + ج)(ب + ج - أ)(أ + ج - ب)(أ + ب -ج)) - في السطر الثالث من الصورة
S 2 = 1/4 جذر(256 (أ + ب + ج)(ب + ج - أ)(أ + ج - ب)(أ + ب -ج)) - السطر الرابع
تم استخراج الجذر التربيعي للرقم 256 بشكل مثالي، لذا دعونا نخرجه من تحت الجذر
S 2 = 16 * 1/4 جذر((أ + ب + ج)(ب + ج - أ)(أ + ج - ب)(أ + ب -ج))
S 2 = 4 جذر ((أ + ب + ج)(ب + ج - أ)(أ + ج - ب)(أ + ب -ج))
(انظر السطر الخامس من الصورة أدناه)
للإجابة على السؤال المطروح في المسألة، نحتاج فقط إلى قسمة مساحة المثلث الناتج على مساحة المثلث الأصلي.
دعونا نحدد نسب المساحة عن طريق قسمة التعبيرات على بعضها البعض وتقليل الكسر الناتج.
مفهوم المنطقة
سيتم ربط مفهوم مساحة أي شكل هندسي، وخاصة المثلث، بشكل مثل المربع. بالنسبة لوحدة مساحة أي شكل هندسي سنأخذ مساحة المربع الذي طول ضلعه يساوي واحدًا. وللإكتمال، دعونا نتذكر خاصيتين أساسيتين لمفهوم مساحات الأشكال الهندسية.
الخاصية 1:إذا كانت الأشكال الهندسية متساوية، فإن مساحاتها متساوية أيضًا.
الخاصية 2:يمكن تقسيم أي شخصية إلى عدة أرقام. علاوة على ذلك، فإن مساحة الشكل الأصلي تساوي مجموع مساحات جميع الأشكال المكونة له.
لنلقي نظرة على مثال.
مثال 1
من الواضح أن أحد أضلاع المثلث هو قطري لمستطيل، يبلغ طول أحد جانبيه $5$ (نظرًا لوجود خلايا $5$)، والآخر يبلغ طوله $6$ (نظرًا لوجود خلايا $6$). وبالتالي فإن مساحة هذا المثلث ستكون مساوية لنصف هذا المستطيل. مساحة المستطيل هي
ثم مساحة المثلث تساوي
الجواب: 15 دولارا.
بعد ذلك، سنتناول عدة طرق لإيجاد مساحات المثلثات، وهي استخدام الارتفاع والقاعدة، باستخدام صيغة هيرون ومساحة المثلث متساوي الأضلاع.
كيفية العثور على مساحة المثلث باستخدام ارتفاعه وقاعدته
النظرية 1
يمكن إيجاد مساحة المثلث بنصف حاصل ضرب طول الضلع والارتفاع إلى ذلك الجانب.
رياضيا يبدو مثل هذا
$S=\frac(1)(2)αh$
حيث $a$ هو طول الجانب، $h$ هو الارتفاع المرسوم عليه.
دليل.
خذ بعين الاعتبار المثلث $ABC$ الذي فيه $AC=α$. يتم رسم الارتفاع $BH$ إلى هذا الجانب، وهو ما يساوي $h$. دعونا نبنيه حتى المربع $AXYC$ كما في الشكل 2.
مساحة المستطيل $AXBH$ هي $h\cdot AH$، ومساحة المستطيل $HBYC$ هي $h\cdot HC$. ثم
$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$، $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$
وبالتالي فإن المساحة المطلوبة للمثلث، حسب الخاصية 2، تساوي
$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ فارك(1)(2)αh$
لقد تم إثبات النظرية.
مثال 2
أوجد مساحة المثلث في الشكل أدناه إذا كانت مساحة الخلية تساوي واحدًا
قاعدة هذا المثلث تساوي 9$ (بما أن 9$ هي 9$ مربعات). الارتفاع أيضًا 9 دولارات. ثم، من خلال النظرية 1، نحصل على
$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40.5$
الجواب: 40.5 دولار.
صيغة هيرون
النظرية 2
إذا حصلنا على ثلاثة أضلاع للمثلث $α$ و$β$ و$γ$، فيمكن إيجاد مساحته على النحو التالي
$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
هنا $ρ$ تعني نصف محيط هذا المثلث.
دليل.
خذ بعين الاعتبار الشكل التالي:
وبواسطة نظرية فيثاغورس، نحصل على المثلث $ABH$
من المثلث $CBH$، وفقًا لنظرية فيثاغورس، لدينا
$h^2=α^2-(β-x)^2$
$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$
ومن هاتين العلاقتين نحصل على المساواة
$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$
$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$
$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$
$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$
$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$
بما أن $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$، ثم $α+β+γ=2ρ$، وهو ما يعني
$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$
$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$
$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$
$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
بواسطة النظرية 1، نحصل على
$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
