taip:

S = ½ * a * h,

Kur:
S – trikampio plotas,
a yra jos kraštinės ilgis,
h yra aukštis, nuleistas į šią pusę.

Šonų ilgis ir aukštis turi būti pateikti tais pačiais matavimo vienetais. Tokiu atveju trikampio plotas bus gautas atitinkamais " " vienetais.

Pavyzdys.
Vienoje 20 cm ilgio skaleninio trikampio pusėje nuleidžiamas 10 cm ilgio statmenas iš priešingos viršūnės.
Reikalingas trikampio plotas.
Sprendimas.
S = ½ * 20 * 10 = 100 (cm²).

Jei žinomi bet kurių dviejų skalinio trikampio kraštinių ilgiai ir kampas tarp jų, naudokite formulę:

S = ½ * a * b * sinγ,

čia: a, b yra dviejų savavališkų kraštinių ilgiai, o γ yra kampo tarp jų reikšmė.

Praktikoje, pavyzdžiui, matuojant žemės plotą, aukščiau išvardytų formulių naudojimas kartais yra sudėtingas, nes tam reikia papildomos konstrukcijos ir kampų matavimo.

Jei žinote visų trijų skalės trikampio kraštinių ilgius, naudokite Herono formulę:

S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)),

a, b, c – trikampio kraštinių ilgiai,
p – pusperimetras: p = (a+b+c)/2.

Jei, be visų kraštinių ilgių, žinomas ir į trikampį įrašyto apskritimo spindulys, naudokite šią kompaktinę formulę:

čia: r – įbrėžto apskritimo spindulys (р – pusperimetras).

Norėdami apskaičiuoti skalės trikampio plotą, naudodami apskritimo spindulį ir jo kraštinių ilgį, naudokite formulę:

čia: R – apibrėžtojo apskritimo spindulys.

Jei yra žinomas vienos iš trikampio kraštinių ilgis ir trijų kampų reikšmės (iš esmės pakanka dviejų - trečiosios vertė apskaičiuojama iš trijų trikampio kampų sumos lygybės - 180º), tada naudokite formulę:

S = (a² * sinβ * sinγ) / 2sinα,

čia α yra kampo, priešingo a kraštinei, reikšmė;
β, γ – likusių dviejų trikampio kampų reikšmės.

Taisyklingas trikampis yra trikampis su trimis lygiomis kraštinėmis. Jis turi tokias savybes: visos taisyklingo trikampio kraštinės yra lygios viena kitai, o visi kampai lygūs 60 laipsnių. Taisyklingas trikampis yra lygiašonis.

Jums reikės

• Geometrijos išmanymas.

Instrukcijos

Tegu yra taisyklingo trikampio, kurio ilgis a=7, kraštinė. Žinodami tokio trikampio kraštinę, galite lengvai apskaičiuoti jo plotą. Tam naudojama: S = (3^(1/2)*a^2)/4. Pakeiskime reikšmę a=7 į šią formulę ir gaukime taip: S = (7*7*3^1/2)/4 = 49 * 1,7 / 4 = 20,82. Taigi mes nustatėme, kad lygiakraščio trikampio, kurio kraštinė a = 7, plotas yra lygus S = 20,82.

Jei nurodytas apskritimo spindulys, jis atrodys taip:
S = 3*3^(1/2)*r^2, kur r yra įbrėžto apskritimo spindulys. Tegul įbrėžto apskritimo spindulys yra r=4. Pakeiskime jį į anksčiau parašytą formulę ir gaukime tokią išraišką: S = 3*1.7*4*4 = 81.6. Tai yra, jei įbrėžto apskritimo spindulys yra lygus 4, lygiakraščio trikampio plotas bus lygus 81,6.

Esant žinomam apibrėžto apskritimo spinduliui, trikampio ploto formulė atrodo taip: S = 3*3^(1/2)*R^2/4, kur R yra apibrėžto apskritimo spindulys . Tarkime, kad R=5, šią reikšmę pakeiskite formule: S = 3*1.7*25/4 = 31.9. Pasirodo, kai apibrėžtojo apskritimo spindulys lygus 5, trikampio plotas yra 31,9.

pastaba

Trikampio plotas visada yra teigiamas, kaip ir trikampio kraštinės ilgis ir įbrėžtųjų bei apibrėžtųjų apskritimų spindulys.

Naudingas patarimas

Įbrėžto ir apibrėžto apskritimo spindulys lygiakraštyje trikampyje skiriasi du kartus, tai žinodami, galite prisiminti tik vieną formulę, pavyzdžiui, per įbrėžto apskritimo spindulį, o žinodami šį teiginį išvesti antrąją.

Jei yra žinomas vienos iš trikampio kraštinių ilgis ir gretimų kampų reikšmės, jo plotą galima apskaičiuoti keliais būdais. Kiekviena skaičiavimo formulė apima trigonometrinių funkcijų naudojimą, tačiau tai neturėtų bauginti - norint jas apskaičiuoti, pakanka turėti prieigą prie interneto, jau nekalbant apie įmontuotą skaičiuotuvą operacinėje sistemoje.

Instrukcijos

Pirmasis ploto (S) apskaičiavimo iš žinomo vienos iš kraštinių ilgio (A) ir gretimų kampų verčių (α ir β) variantas apima šių kampų apskaičiavimą. Plotas šiuo atveju bus žinomos kraštinės ilgio kvadratas, padalintas iš dviejų žinomų kampų kotangentų: S = A*A/(2*(ctg(α)+ctg(β))). Pavyzdžiui, jei žinomos kraštinės ilgis yra 15 cm, o gretimi kampai yra 40° ir 60°, tada ploto skaičiavimas atrodys taip: 15*15/(2*(ctg(40)+ctg(60) ))) = 225/(2*(-0,895082918+3,12460562)) = 225/4,4590454 = 50,4592305 kvadratinių centimetrų.

Antrasis ploto skaičiavimo variantas naudoja žinomų kampų sinusus, o ne kotangentus. Šioje versijoje plotas lygus žinomos kraštinės ilgio kvadratui, padaugintam iš kiekvieno kampo sinusų ir padalijus iš dvigubo šių kampų sumos sinuso: S = A*A*sin(α )*sin(β)/(2*sin(α + β) ). Pavyzdžiui, to paties trikampio, kurio žinoma kraštinė yra 15 cm, o gretimi 40° ir 60° kampai, ploto apskaičiavimas atrodys taip: (15*15*sin(40)*sin(60))/( 2* nuodėm

Trečiasis trikampio ploto skaičiavimo variantas naudoja kampų liestinę. Plotas bus lygus žinomos kraštinės ilgio kvadratui, padaugintam iš kiekvieno kampo liestinių ir padalijus iš dvigubos šių kampų liestinių sumos: S = A*A*tg(α)*tg (β)/2(tg(α)+tg(β) ). Pavyzdžiui, ankstesniuose žingsniuose naudotam trikampiui, kurio kraštinė yra 15 cm, o gretimi kampai 40° ir 60°, ploto apskaičiavimas atrodys taip: (15*15*tg(40)*tg(60) ))/(2*(tg (40)+tg(60)) = (225*(-1.11721493)*0.320040389)/(2*(-1.11721493+0.320040389)) = -80.44940389)) = -80.44940389)) = -80.44940389)) = -80.44940389)) = -80.44940389)) = -80.449.40 metrų.

Praktinius skaičiavimus galima atlikti, pavyzdžiui, naudojant Google paieškos sistemos skaičiuotuvą. Norėdami tai padaryti, tiesiog pakeiskite skaitines reikšmes į formules ir įveskite jas paieškos užklausos lauke.

4 patarimas: kaip rasti trikampio ir stačiakampio plotą

Trikampis ir stačiakampis yra dvi paprasčiausios plokštumos geometrinės figūros Euklido geometrijoje. Perimetrų, sudarytų iš šių daugiakampių kraštų, viduje yra tam tikra plokštumos atkarpa, kurios plotą galima nustatyti įvairiais būdais. Metodo pasirinkimas kiekvienu konkrečiu atveju priklausys nuo žinomų figūrų parametrų.

Ploto formulė Būtina nustatyti figūros plotą, kuris yra tikrosios vertės funkcija, apibrėžta tam tikroje Euklido plokštumos figūrų klasėje ir tenkinanti 4 sąlygas:

1. Pozityvumas – plotas negali būti mažesnis už nulį;
2. Normalizavimas - kvadratas su šoniniu vienetu turi 1 plotą;
3. Sutapimas – sutampančios figūros turi vienodą plotą;
4. Adityvumas - 2 figūrų sąjungos plotas be bendrų vidinių taškų yra lygus šių figūrų plotų sumai.

Ploto samprata

Bet kurios geometrinės figūros, ypač trikampio, ploto sąvoka bus susieta su tokia figūra kaip kvadratas. Bet kurios geometrinės figūros ploto vienetui imsime kvadrato, kurio kraštinė lygi vienetui, plotą. Norėdami išsamumo, prisiminkime dvi pagrindines geometrinių figūrų plotų sąvokos savybes.

1 nuosavybė: Jei geometrinės figūros lygios, tai jų plotai taip pat lygūs.

2 nuosavybė: Bet kurią figūrą galima suskirstyti į kelias figūras. Be to, pradinės figūros plotas yra lygus visų ją sudarančių figūrų plotų sumai.

Pažiūrėkime į pavyzdį.

1 pavyzdys

Akivaizdu, kad viena iš trikampio kraštinių yra stačiakampio įstrižainė, kurios vienos kraštinės ilgis yra $5$ (kadangi yra $5$ langelių), o kitos - $6$ (kadangi yra $6$ langelių). Todėl šio trikampio plotas bus lygus pusei tokio stačiakampio. Stačiakampio plotas yra

Tada trikampio plotas lygus

Atsakymas: 15 USD.

Toliau apsvarstysime kelis trikampių plotų radimo būdus, būtent naudojant aukštį ir pagrindą, naudojant Herono formulę ir lygiakraščio trikampio plotą.

Kaip rasti trikampio plotą naudojant jo aukštį ir pagrindą

1 teorema

Trikampio plotą galima rasti kaip pusę kraštinės ilgio ir aukščio iki tos pusės sandaugos.

Matematiškai tai atrodo taip

$S=\frac(1)(2)αh$

kur $a$ yra kraštinės ilgis, $h$ yra jos aukštis.

Įrodymas.

Apsvarstykite trikampį $ABC$, kuriame $AC=α$. Į šią pusę nubrėžtas aukštis $BH$, kuris lygus $h$. Pastatykime jį iki kvadrato $AXYC$, kaip parodyta 2 paveiksle.

Stačiakampio $AXBH$ plotas yra $h\cdot AH$, o stačiakampio $HBYC$ plotas yra $h\cdot HC$. Tada

$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$

Todėl reikalingas trikampio plotas pagal savybę 2 yra lygus

$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$

Teorema įrodyta.

2 pavyzdys

Žemiau esančiame paveikslėlyje raskite trikampio plotą, jei langelio plotas lygus vienetui

Šio trikampio pagrindas lygus $9$ (nes $9$ yra $9$ kvadratai). Aukštis taip pat yra 9 USD. Tada pagal 1 teoremą gauname

$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40,5$

Atsakymas: 40,5 USD.

Garnio formulė

2 teorema

Jei mums pateikiamos trys trikampio kraštinės $α$, $β$ ir $γ$, tai jo plotą galima rasti taip

$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

čia $ρ$ reiškia šio trikampio pusperimetrą.

Įrodymas.

Apsvarstykite šį paveikslą:

Pagal Pitagoro teoremą iš trikampio $ABH$ gauname

Iš trikampio $CBH$ pagal Pitagoro teoremą turime

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

Iš šių dviejų santykių gauname lygybę

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$

$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$

$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$

$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$

Kadangi $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, tada $α+β+γ=2ρ$, o tai reiškia

$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$

$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$

$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$

$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Pagal 1 teoremą gauname

$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Trikampio plotas - formulės ir problemų sprendimo pavyzdžiai

Žemiau yra savavališko trikampio ploto nustatymo formulės kurie tinka bet kokio trikampio plotui rasti, nepaisant jo savybių, kampų ar dydžių. Formulės pateikiamos paveikslėlio pavidalu su jų taikymo paaiškinimais arba teisingumo pagrindimu. Taip pat atskirame paveikslėlyje parodytas raidžių simbolių formulėse ir grafinių simbolių brėžinyje atitikimas.

Pastaba . Jei trikampis turi specialių savybių (lygiašonis, stačiakampis, lygiakraštis), galite naudoti toliau pateiktas formules, taip pat papildomas specialias formules, kurios galioja tik trikampiams, turintiems šias savybes:

• "Liaukiašo trikampio ploto formulė"

Trikampio ploto formulės

Formulių paaiškinimai:
a, b, c- trikampio, kurio plotą norime rasti, kraštinių ilgiai
r- į trikampį įbrėžto apskritimo spindulys
R- aplink trikampį apibrėžto apskritimo spindulys
h- trikampio aukštis nuleistas į šoną
p- trikampio pusiau perimetras, 1/2 jo kraštinių sumos (perimetras)
α - kampas, priešingas trikampio kraštinei a
β - kampas, priešingas trikampio kraštinei b
γ - kampas, priešingas trikampio kraštinei c
h a, h b , h c- trikampio aukštis nuleistas į a, b, c puses

Atkreipkite dėmesį, kad pateiktos žymos atitinka aukščiau pateiktą paveikslą, todėl sprendžiant realią geometrijos problemą jums bus vizualiai lengviau pakeisti teisingas reikšmes tinkamose formulės vietose.

• Trikampio plotas yra pusės trikampio aukščio ir kraštinės, kuria šis aukštis nuleistas, ilgio sandaugos(Formulė 1). Šios formulės teisingumą galima suprasti logiškai. Nuleistas iki pagrindo aukštis savavališką trikampį padalins į du stačiakampius. Jei kiekvieną iš jų pastatysite į stačiakampį, kurio matmenys b ir h, tada akivaizdu, kad šių trikampių plotas bus lygus tiksliai pusei stačiakampio ploto (Spr = bh)
• Trikampio plotas yra pusė jo abiejų kraštinių ir kampo tarp jų sinuso sandaugos(2 formulė) (žr. problemos sprendimo pavyzdį naudojant šią formulę žemiau). Nors atrodo, kad jis skiriasi nuo ankstesnio, jį galima lengvai paversti juo. Jei aukštį nuo kampo B sumažintume į kraštinę b, tai išeitų, kad kraštinės a ir kampo γ sinuso sandauga pagal stačiakampio sinuso savybes yra lygi trikampio aukščiui, kurį nubrėžėme. , kuri suteikia mums ankstesnę formulę
• Galima rasti savavališko trikampio plotą per dirbti pusė apskritimo spindulio, įrašyto į jį visų jo kraštinių ilgių suma(3 formulė), paprasčiausiai tariant, reikia padauginti trikampio pusiau perimetrą iš įrašyto apskritimo spindulio (tai lengviau atsiminti)
• Savavališko trikampio plotą galima rasti padalijus visų jo kraštinių sandaugą iš 4 aplink jį apibrėžto apskritimo spindulių (4 formulė)
• 5 formulė randa trikampio plotą per jo kraštinių ilgį ir pusperimetrą (pusę visų jo kraštinių sumos)
• Garnio formulė(6) yra tos pačios formulės vaizdavimas nenaudojant pusperimetro sąvokos, tik per kraštinių ilgius
• Savavališko trikampio plotas yra lygus trikampio kraštinės kvadrato ir kampų, esančių šalia šios kraštinės, sinusų sandaugai, padalytai iš kampo, priešingo šiai kraštinei, dvigubo sinuso (7 formulė)
• Savavališko trikampio plotą galima rasti kaip dviejų apskritimo kvadratų, apribotų jį kiekvieno jo kampo sinusais, sandauga. (Formulė 8)
• Jei žinomos vienos kraštinės ilgis ir dviejų gretimų kampų reikšmės, tada trikampio plotą galima rasti kaip šios kraštinės kvadratą, padalijus iš šių kampų dvigubos kotangentų sumos (9 formulė).
• Jei žinomas tik kiekvieno trikampio aukščių ilgis (10 formulė), tada tokio trikampio plotas yra atvirkščiai proporcingas šių aukščių ilgiams, kaip pagal Herono formulę
• 11 formulė leidžia apskaičiuoti trikampio plotas, pagrįstas jo viršūnių koordinatėmis, kurios nurodytos kaip (x;y) reikšmės kiekvienai viršūnei. Atkreipkite dėmesį, kad gauta reikšmė turi būti paimta modulio, nes atskirų (ar net visų) viršūnių koordinatės gali būti neigiamų verčių srityje

Pastaba. Toliau pateikiami geometrijos uždavinių sprendimo pavyzdžiai, norint rasti trikampio plotą. Jei reikia išspręsti geometrijos uždavinį, kuris čia nėra panašus, parašykite apie tai forume. Sprendimuose vietoj simbolio „kvadratinė šaknis“ galima naudoti funkciją sqrt(), kurioje sqrt yra kvadratinės šaknies simbolis, o radikali išraiška nurodoma skliausteliuose.Kartais paprastiems radikaliems posakiams galima naudoti simbolį √

Užduotis. Raskite plotą, nurodytą dviejose pusėse, ir kampą tarp jų

Trikampio kraštinės yra 5 ir 6 cm Kampas tarp jų 60 laipsnių. Raskite trikampio plotą.

Sprendimas.

Norėdami išspręsti šią problemą, naudojame formulę numeris du iš teorinės pamokos dalies.
Trikampio plotą galima rasti per dviejų kraštinių ilgius ir kampo tarp jų sinusą ir bus lygus
S=1/2 ab sin γ

Kadangi turime visus sprendimui reikalingus duomenis (pagal formulę), formulėje galime pakeisti tik uždavinio sąlygų reikšmes:
S = 1/2 * 5 * 6 * sin 60

Trigonometrinių funkcijų reikšmių lentelėje rasime ir į išraišką pakeisime sinuso reikšmę 60 laipsnių. Jis bus lygus trijų kartų du šaknims.
S = 15 √3 / 2

Atsakymas: 7,5 √3 (atsižvelgiant į mokytojo reikalavimus, tikriausiai galite palikti 15 √3/2)

Užduotis. Raskite lygiakraščio trikampio plotą

Raskite lygiakraščio trikampio, kurio kraštinė yra 3 cm, plotą.

Sprendimas.

Trikampio plotą galima rasti naudojant Herono formulę:

S = 1/4 kvadratinių metrų ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))

Kadangi a = b = c, lygiakraščio trikampio ploto formulė yra tokia:

S = √3 / 4 * a 2

S = √3 / 4 * 3 2

Atsakymas: 9 √3 / 4.

Užduotis. Keičiant šonų ilgį, keičiamas plotas

Kiek kartų padidės trikampio plotas, jei kraštinės padidinamos 4 kartus?

Sprendimas.

Kadangi trikampio kraštinių matmenys mums nežinomi, norėdami išspręsti problemą, manysime, kad kraštinių ilgiai yra atitinkamai lygūs savavališkiems skaičiams a, b, c. Tada, norėdami atsakyti į uždavinio klausimą, rasime nurodyto trikampio plotą, o tada – trikampio, kurio kraštinės keturis kartus didesnės, plotą. Šių trikampių plotų santykis suteiks mums atsakymą į problemą.

Žemiau pateikiame tekstinį problemos sprendimo paaiškinimą žingsnis po žingsnio. Tačiau pačioje pabaigoje tas pats sprendimas pateikiamas patogesne grafine forma. Tie, kurie domisi, gali iš karto pereiti prie sprendimų.

Norėdami išspręsti, naudojame Herono formulę (žr. aukščiau teorinėje pamokos dalyje). Tai atrodo taip:

S = 1/4 kvadratinių metrų ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))
(žr. pirmąją paveikslėlio eilutę žemiau)

Savavališko trikampio kraštinių ilgiai nurodomi kintamaisiais a, b, c.
Jei kraštinės padidinamos 4 kartus, tada naujo trikampio c plotas bus:

S 2 = 1/4 kvadratinių metrų ((4a + 4b + 4c) (4b + 4c - 4a) (4a + 4c - 4b) (4a + 4b -4c))
(žr. antrą eilutę paveikslėlyje žemiau)

Kaip matote, 4 yra bendras veiksnys, kurį galima ištraukti iš skliaustų iš visų keturių išraiškų pagal bendrąsias matematikos taisykles.
Tada

S 2 = 1/4 kvadratinių metrų (4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c)) - trečioje paveikslo eilutėje
S 2 = 1/4 kvadratinių metrų (256 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c)) - ketvirta eilutė

Skaičiaus 256 kvadratinė šaknis puikiai išgauta, todėl išimkime ją iš po šaknies
S 2 = 16 * 1/4 kvadratinių metrų ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))
S 2 = 4 kvadratiniai plotai ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))
(žr. žemiau esančios nuotraukos penktąją eilutę)

Norėdami atsakyti į užduotą klausimą, tereikia padalyti gauto trikampio plotą iš pradinio ploto.
Plotų santykius nustatykime dalijant išraiškas vieną iš kitos ir sumažinant gautą trupmeną.

Ploto samprata

Bet kurios geometrinės figūros, ypač trikampio, ploto sąvoka bus susieta su tokia figūra kaip kvadratas. Bet kurios geometrinės figūros ploto vienetui imsime kvadrato, kurio kraštinė lygi vienetui, plotą. Norėdami išsamumo, prisiminkime dvi pagrindines geometrinių figūrų plotų sąvokos savybes.

1 nuosavybė: Jei geometrinės figūros lygios, tai jų plotai taip pat lygūs.

2 nuosavybė: Bet kurią figūrą galima suskirstyti į kelias figūras. Be to, pradinės figūros plotas yra lygus visų ją sudarančių figūrų plotų sumai.

Pažiūrėkime į pavyzdį.

1 pavyzdys

Akivaizdu, kad viena iš trikampio kraštinių yra stačiakampio įstrižainė, kurios vienos kraštinės ilgis yra $5$ (kadangi yra $5$ langelių), o kitos - $6$ (kadangi yra $6$ langelių). Todėl šio trikampio plotas bus lygus pusei tokio stačiakampio. Stačiakampio plotas yra

Tada trikampio plotas lygus

Atsakymas: 15 USD.

Toliau apsvarstysime kelis trikampių plotų radimo būdus, būtent naudojant aukštį ir pagrindą, naudojant Herono formulę ir lygiakraščio trikampio plotą.

Kaip rasti trikampio plotą naudojant jo aukštį ir pagrindą

1 teorema

Trikampio plotą galima rasti kaip pusę kraštinės ilgio ir aukščio iki tos pusės sandaugos.

Matematiškai tai atrodo taip

$S=\frac(1)(2)αh$

kur $a$ yra kraštinės ilgis, $h$ yra jos aukštis.

Įrodymas.

Apsvarstykite trikampį $ABC$, kuriame $AC=α$. Į šią pusę nubrėžtas aukštis $BH$, kuris lygus $h$. Pastatykime jį iki kvadrato $AXYC$, kaip parodyta 2 paveiksle.

Stačiakampio $AXBH$ plotas yra $h\cdot AH$, o stačiakampio $HBYC$ plotas yra $h\cdot HC$. Tada

$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$

Todėl reikalingas trikampio plotas pagal savybę 2 yra lygus

$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$

Teorema įrodyta.

2 pavyzdys

Žemiau esančiame paveikslėlyje raskite trikampio plotą, jei langelio plotas lygus vienetui

Šio trikampio pagrindas lygus $9$ (nes $9$ yra $9$ kvadratai). Aukštis taip pat yra 9 USD. Tada pagal 1 teoremą gauname

$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40,5$

Atsakymas: 40,5 USD.

Garnio formulė

2 teorema

Jei mums pateikiamos trys trikampio kraštinės $α$, $β$ ir $γ$, tai jo plotą galima rasti taip

$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

čia $ρ$ reiškia šio trikampio pusperimetrą.

Įrodymas.

Apsvarstykite šį paveikslą:

Pagal Pitagoro teoremą iš trikampio $ABH$ gauname

Iš trikampio $CBH$ pagal Pitagoro teoremą turime

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

Iš šių dviejų santykių gauname lygybę

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$

$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$

$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$

$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$

Kadangi $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, tada $α+β+γ=2ρ$, o tai reiškia

$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$

$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$

$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$

$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Pagal 1 teoremą gauname

$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$